Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（常微分方程与边值问题）

引用

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., & Meade, D. B. (2021). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (12th ed.). Wiley.

章节概要

第12版共11章，约640页。第1–9章讲常微分方程，第10–11章讲偏微分方程和边值问题，书末附有习题答案。本版由 Douglas Meade 修订，两位原作者均已去世。据出版社介绍，本版在每章末的习题中都加入了概念检测题，并为每一节配备了工作单。序言说明，全书的总体结构与上一版相同。Wiley 称各章自成一体，教师可以自行选择章节、顺序和深度。

第1章：引言

通过两个模型——下落的物体，以及被猫头鹰捕食的田鼠种群——引入方向场和平衡解。随后求解一些简单的方程，并按类型和阶数对微分方程分类。三个简短的历史小节从牛顿、莱布尼茨和伯努利家族一直讲到近来的计算进展，本章还讨论了如何用软件作图和进行数值计算。

第2章：一阶微分方程

用积分因子求解线性方程、可分离变量方程、用一阶方程建模、线性与非线性方程的区别、自治方程与种群动力学、恰当方程、欧拉法、存在唯一性定理以及一阶差分方程。

第3章：二阶线性微分方程

常系数齐次方程、朗斯基行列式、特征方程的复根与重根、降阶法、待定系数法和常数变易法。本章以机械振动与电振动以及受迫周期振动结束。

第4章：高阶线性微分方程

n阶线性方程的一般理论，以及由第3章推广而来的常系数、待定系数和常数变易方法。

第5章：二阶线性方程的级数解

在复习幂级数之后，本章求常点附近的级数解，并在讨论欧拉方程之后转到正则奇点附近的级数解，最后讨论贝塞尔方程。

第6章：拉普拉斯变换

变换的定义、在初值问题中的应用、阶跃函数与间断外力、冲激函数以及卷积积分。

第7章：一阶线性方程组

本章先复习矩阵、线性代数方程组、特征值和特征向量，然后建立线性方程组的基本理论和常系数齐次方程组的解法，讨论复特征值和重特征值、基解矩阵以及非齐次方程组。

第8章：数值方法

欧拉法（切线法）及其改进、龙格–库塔法、多步法、方程组的数值方法，以及对误差和稳定性的进一步讨论。

第9章：非线性微分方程与稳定性

线性系统的相平面、自治系统与稳定性、局部线性系统。随后应用于竞争物种和捕食者–猎物方程。本章讨论李雅普诺夫第二方法、周期解与极限环，最后以洛伦兹方程中的混沌和奇怪吸引子收尾。

第10章：偏微分方程与傅里叶级数

从两点边值问题引出傅里叶级数、傅里叶收敛定理以及奇函数与偶函数。随后把分离变量法应用于杆的热传导及其他热传导问题、弦振动的波动方程和拉普拉斯方程。本章之后有两个附录。

第11章：边值问题与施图姆–刘维尔理论

再论两点边值问题，施图姆–刘维尔问题（正则、非齐次和奇异），作为分离变量法进一步实例的贝塞尔级数展开，以及正交函数级数与平均收敛。

核心概念

第1–2章：基础与一阶方程

• 方向场：由短切线段构成的图，不解方程就能显示解的行为。
• 积分因子：把一阶线性方程化为某个导数的乘数。
• 自治方程与平衡：不显含时间的方程，通过其平衡解来分析。
• 存在唯一性定理：初值问题恰有一个解的条件。

第3–5章：高阶线性方程

• 特征方程：其根给出常系数线性方程之解的代数方程。
• 朗斯基行列式：用来检验解是否线性无关的行列式。
• 待定系数法与常数变易法：求解非齐次方程的两种方法。
• 正则奇点：级数解需要采用修正形式的点，例如贝塞尔方程中的情形。

第6–8章：变换、方程组与数值方法

• 拉普拉斯变换：把初值问题（包括带间断外力和冲激外力的问题）转化为代数问题。
• 方程组的特征值方法：由特征值和特征向量求常系数线性方程组的解。
• 龙格–库塔法与多步法：比欧拉法更精确的数值格式。

第9–11章：稳定性、偏微分方程与边值问题

• 相平面与局部线性化：通过线性近似对非线性系统的平衡点分类。
• 李雅普诺夫第二方法：借助类似能量的函数证明稳定性。
• 傅里叶级数与分离变量法：求解热方程、波动方程和拉普拉斯方程的途径。
• 施图姆–刘维尔问题：其特征函数构成正交系的特征值问题。

评析

优点

• 面向应用而理论扎实。 出版社把本书的视角描述为应用数学家的视角：把扎实但不抽象的初等理论阐述，与求解、分析和近似的方法结合起来。存在唯一性、朗斯基行列式、李雅普诺夫方法和施图姆–刘维尔理论与各种解法并列出现。
• 要求得出结论的习题。 序言强调，求出解本身并不是目的。许多习题要求学生对解得出结论，例如长期行为或参数如何影响解。教师可以根据课程目标决定布置多少这类习题。
• 灵活运用技术。 序言和出版社都说明，本书适用于从完全不用计算机到大量使用计算机的各种课程。要求"画草图"的习题应当手工完成，第1章还讨论了如何使用免费的作图工具。
• 覆盖面广，建模贯穿始终。 种群动力学、振动、竞争物种、捕食者–猎物模型、洛伦兹方程以及热和波的问题都在目录中。第1章的历史小节和人物生平脚注把这门学科放到历史背景中。

局限

• 篇幅长、内容全。 约640页、11章的篇幅超出了一学期课程所能覆盖的范围。学生需要规划好跳过哪些内容。
• 线性代数出现得晚而简略。 矩阵、特征值和特征向量在第7章中才加以复习。出版社指出对矩阵有一定了解会有帮助；完全没学过线性代数的学生会觉得这一章内容密集。
• 部分辅助材料在书外。 部分习题的解答在单独的 Student Solutions Manual 中。GeoGebra 交互图形以及许多可额外布置的习题属于 WileyPLUS 在线课程。
• 与上一版相比改动不大。 序言称修订属于小幅调整，因此与前几版的差别主要在习题和表述上。

在课程中的定位

Boyce、DiPrima 和 Meade 的书是本书单中标准的、全面的第一门课程教材。最接近的替代品是 Jiří Lebl 的免费教材 Notes on Diffy Qs。其作者称它可以"直接替换" Boyce 和 DiPrima 的书，并把各节与之对应，因此两本书可以并用。Lebl 免费且面向工科学生，而 Boyce 提供更多例题和习题，以及奇点附近的级数解、李雅普诺夫方法和施图姆–刘维尔理论等主题。

读完本书之后，Hirsch、Smale 和 Devaney 的 Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 会进一步发展 Boyce 第9章所引入的定性的、动力系统的观点。Arrowsmith 等人的 Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour 更深入地讨论映射与混沌。Brock 和 Malliaris 的 Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics 则把同样的稳定性思想应用于经济模型。

如何使用本书

本书面向修读第一门微分方程课程的数学、理科和工科本科生。所述的前提是通过通常两到三个学期的微积分课程所获得的实用微积分知识。学习方程组的章节时，对矩阵有一定了解会有帮助。

• 一学期的常微分方程课程： 以第1–3章为核心，2.7–2.9节和振动各节视时间选讲。再加上第6章（拉普拉斯变换）和第7章（方程组），最后以第9章开头关于相平面与稳定性的几节收尾。
• 选学内容或第二门课程的内容： 第4章是第3章的直接推广。讲级数解的第5章和讲数值方法的第8章可按需选用。第10章和第11章自然构成一门傅里叶级数与边值问题课程的内容。
• 主动学习： 先手工画方向场和相图，再用软件核对。做章末习题之前先用概念检测题，并且要做那些追问解的含义、而不仅是求解方法的习题。
• 自学： 习题答案在书末。Lebl 的免费讲义可以逐节提供另一种讲解。