01 / 導讀
導讀
引用
Arrowsmith, D. K., & Place, C. M. (1992). Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. Chapman & Hall. Chapman & Hall/CRC Mathematics Series, vol. 5.
章節概要
全書約330頁，共六章，另有附有習題提示的參考文獻和索引。它取代了作者早先的《Ordinary Differential Equations》（1982）。出版社的簡介稱，這是一本講動力系統定性性質的教材，同時涵蓋微分方程和對映，大量依靠例子，並輔以豐富的習題、解題提示和圖示。其宗旨是把混沌與分形這些較新的主題納入常微分方程的標準教學之中。
第1章：Introduction（引言）
基本概念：解的存在與唯一性、解的幾何表示以及自治方程。重點是相圖和系統的定性觀點。本章以習題結束。
第2章：Linear Systems（線性系統）
線性系統的解法與分類、標準形的相圖、高維線性系統、演化運算元和仿射系統。章末為習題。
第3章：Non-linear Systems in the Plane（平面上的非線性系統）
平面非線性系統的局部與全域行為、不動點的穩定性、首次積分，以及關於極限環的 Poincaré–Bendixson 理論，並討論非簡單不動點。索引詞條中有線性化定理、分界線、等傾線和捕獲區域。
第4章：Flows on Non-Planar Phase Spaces（非平面相空間上的流）
非平面相空間中的微分方程：雙曲與非雙曲不動點、閉軌道、吸引集與吸引子、Hamilton 方程和 Poincaré 對映。Poincaré 對映把流與後文發展的對映研究聯絡起來。
第5章：Applications I: Planar Phase Spaces（應用 I：平面相空間）
把平面理論應用於機械振子、電路和耦合振子的模型，包括仿射與非線性的例子，如 Van der Pol 振子。
第6章：Applications II: Non-Planar Phase Spaces, Families of Systems, and Bifurcations（應用 II：非平面相空間、系統族與分岔）
最長的一章，從約第212頁延伸到第288頁的習題。本章考察非平面模型以及行為隨引數變化的系統族，並討論分岔，包括對映的分岔。索引詞條中有保面積對映和倍週期（flip）分岔。簡介還說，本書給出了分形成像和元胞自動機的入門介紹。
核心概念
第1–2章：相圖與線性系統
- 相圖：相空間中解曲線的圖，顯示系統的定性行為。
- 自治方程：變化率只取決於狀態、與時間無關的方程。
- 演化運算元：沿線性系統把初始狀態向前推進的運算元。
第3–4章：非線性系統
- 不動點的穩定性：對平衡點附近行為的分類，包括雙曲與非雙曲情形。
- 極限環與 Poincaré–Bendixson 理論：平面系統的孤立週期軌道，以及判定它們的定理。
- Poincaré 對映：把流化為對映，聯絡微分方程與對映。
第5–6章：應用與分岔
- 分岔：隨引數變化，動力學發生定性變化，如鞍結分岔和倍週期分岔。
- 混沌行為：離散系統的不規則動力學，是書名所強調的內容。
評析
優點
- 以例子為先。 簡介稱本書的方法大量依靠例子，並輔以豐富的習題、解題提示和圖示，這與一個以相圖為主要工具的學科相稱。
- 微分方程與對映並舉。 本書把混沌和離散動力學放在標準常微分方程課程的框架內，以 Poincaré 對映為橋梁。
- 物理方面的應用。 應用各章涉及機械和電學模型，簡介點名了物理、工程和地質。
- 便於自學。 參考文獻之後附有習題提示，前四章每章都以一組習題結束。
侷限
- 篇幅精簡。 全書約330頁、六章，是一門入門課程而非參考書；需要更高深結果的證明或其他方法的讀者要另備教材。
- 帶有年代的印記。 本書寫於1992年，正如簡介所說，當時混沌與分形剛進入課程，此後的發展沒有涉及。
- 對映與混沌沒有獨立的章。 書名強調對映和混沌行為，但六個章標題都沒有提到它們，想早點學離散動力學的讀者須在流與分岔的章節中尋找。
在課程中的定位
在本書單中，Arrowsmith 與 Place 屬於偏數學的、定性的動力系統教材。Boyce、DiPrima 與 Meade 的 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 以及 Lebl 的免費教材 Notes on Diffy Qs 介紹求解方法，是很好的準備。Hirsch、Smale 與 Devaney 的 Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 從動力系統的角度處理常微分方程，是同一主題上最接近的替代選擇。
Brock 與 Malliaris 的 Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamic Economics 把相關的穩定性方法應用於經濟模型，先讀 Arrowsmith 與 Place 能為那本書打下數學圖景的基礎。
如何使用本書
本書適合學過常微分方程和線性代數入門課程、希望學習定性理論及其在科學中應用的學生。
- 核心： 第1至3章，建立相圖和平面理論。
- 接下來： 第4章講非平面流和 Poincaré 對映，然後是第5、6章的應用。
- 練習： 做每章末的習題，試過之後再看書後的提示。手繪相圖是最值得培養的技能。