01 / 导读
导读
引用
Larsen, R. J., & Marx, M. L. (2018). An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications (6th ed.). Pearson.
章节概要
第1章：Introduction
开篇一章通过概述、统计分析的经典例子以及统计学与概率论的简史，为这门学科建立背景。
第2章：Probability
由样本空间和集合代数引出概率的定义，随后是条件概率、独立性，以及计算复杂事件概率的组合方法。
第3章：Random Variables
介绍离散和连续随机变量及其分布、期望和方差，以及随机变量的变换与组合所产生的影响。
第4章：Special Distributions
考察应用中反复出现的有名称的分布，泊松分布、正态分布和二项分布是核心例子。
第5章：Estimation
讲授获得估计量的方法，主要是极大似然法和矩估计法，以及用来评判估计量的性质：无偏性、有效性和一致性。
第6章：Hypothesis Testing
阐述以原假设对备择假设进行检验的逻辑，包括第一类错误和第二类错误及其对决策的意义。
第7章：Inferences Based on the Normal Distribution
在这里展开基于正态分布的均值与方差的方法，包括 z 方法和 t 方法以及方差的估计。
第8章：Types of Data: A Brief Overview
简短的一章，对数据的种类加以分类，并把每一类与相应的分析和设计方法联系起来。
第9章：Two-Sample Inferences
比较两个样本的技术，包括关于均值和方差的检验与区间（独立样本的 t 方法和 F 方法）以及它们所需的假设。
第10章：Goodness-of-Fit Tests
本章探讨理论分布对观测数据的描述有多好，并展开卡方拟合优度检验。
第11章：Regression
通过最小二乘估计引入线性回归，随后介绍评估拟合模型对数据描述程度的方法，包括残差分析。
第12章：The Analysis of Variance
方差分析把两样本比较推广到两组以上，包括多重比较程序以及该方法背后的假设。
第13章：Randomized Block Designs
随机区组设计展示如何控制实验单元之间的外来变异，使处理效应得以更精确地比较。
第14章：Nonparametric Statistics
最后一章介绍不对数据作特定分布假设的方法，包括针对配对样本和独立样本的检验，如符号检验和威尔科克森检验。
核心概念
第2–4章：概率、随机变量、特殊分布
- 条件概率与独立性：把事件相互联系起来的基本工具。
- 期望与方差：描述随机变量中心和散布的概括量。
- 特殊分布：用作数据模型的二项、泊松和正态分布族。
第5–7章：估计、假设检验、基于正态分布的推断
- 极大似然与矩估计：本书获得估计量的两种主要方法。
- 无偏性、有效性、一致性：比较估计量的准则。
- 第一类与第二类错误：检验可能出错的两种方式。
第8–14章：应用推断
- 拟合优度检验：用观测频数检验所假设的分布。
- 最小二乘：线性回归背后的拟合准则。
- 方差分析与区组化：比较多个处理，可控制或不控制已知的变异来源。
- 非参数检验：参数假设不成立时不依赖分布的替代方法。
评析
优点
- 目标读者明确。 出版社把本书定位为学过微积分的学生初次接触数理统计的读物，面向修过三个或更多学期微积分的学生，内容足以支撑两个学期的课程。
- 统计学与实验设计兼顾。 培生称本书涵盖统计学原理与数据建模，目录也印证了这一点：除估计和检验外，后面三章分别是方差分析、随机区组设计和非参数方法。
- 一册之内有完整脉络。 十四章从概率经特殊分布和推断，一直到回归、设计实验和不依赖分布的方法，一本书即可支撑课程中概率与推断两个部分。
- 接触计算。 出版社的介绍说，本书让偏重计算的学生实际接触数据模型的识别。
局限
- 微积分是实实在在的先修要求。 没有学过几个学期微积分的读者会觉得概率和分布各章很难。
- 概率部分较简略。 在估计之前只有三章，需要更深概率基础的学生应配合一本专门的概率书。
- 贝叶斯方法和测度论内容不是特色。 目录中没有关于贝叶斯方法或概率测度论处理的章节，因此本书是第一门课，而不是通往研究生理论的桥梁。
在课程中的定位
在概率与统计书单中，本书是以微积分为基础的数理统计第一门课。布利茨坦与黄的 Introduction to Probability 是只讲概率的更透彻的本科教材，特色是故事式证明和用 R 做模拟，适合作为第2至4章的配套读物或先修。伊洛夫斯基与迪恩的 Introductory Statistics 2e 以及斯皮格哈尔特的 The Art of Statistics 不借助微积分讲授统计实践，对于想先理解思想、再学数学的读者是有用的背景。
在更深的理论方面，卡塞拉与伯杰的 Statistical Inference 和马夫拉卡基斯与彭泽的 Probability and Statistical Inference 在研究生层次上涵盖相近的内容，后者还包含贝叶斯方法。威廉斯的 Probability with Martingales 和米岑马赫等人的 Probability and Computing 在概率论上走得更远，分别朝测度论和算法的方向发展。拉森与马克斯是通向它们的入口，而不是替代品。
如何使用本书
本书适合已修完微积分课程、尚未接触数理统计的数学、统计、工程和理科学生，也可以作为自学教材，供想了解标准方法是如何推导出来的人使用。
若按两个学期安排，第一学期学第1至7章（概率、随机变量、特殊分布、估计、假设检验和基于正态分布的推断），第二学期学第8至14章（数据类型、两样本推断、拟合优度、回归、方差分析、区组化和非参数方法）。已经修过以微积分为基础的概率课程的学生，可以把第2至4章当作复习，从第5章开始认真学习。
要做习题，推导正是在那里得到练习的。把假设检验一章与对应的估计内容对照阅读，可以看出区间和检验如何回答同样的问题。