01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Larsen, R. J., & Marx, M. L. (2018). An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications (6th ed.). Pearson.
章の要約
第1章：Introduction
冒頭の章は、概観、統計的分析の古典的な例、統計学と確率論の短い歴史によって、この分野を位置づける。
第2章：Probability
標本空間と集合の代数から確率の定義へ進み、条件付き確率、独立性、そして複雑な事象の確率を計算するための組合せ論的方法が続く。
第3章：Random Variables
離散確率変数と連続確率変数を、その分布、期待値、分散とともに導入し、確率変数の変換や組合せが及ぼす影響を扱う。
第4章：Special Distributions
応用で繰り返し現れる名前のついた分布を調べる。ポアソン分布、正規分布、二項分布が中心的な例である。
第5章：Estimation
推定量を得る方法、とりわけ最尤法とモーメント法、そして推定量を評価する性質である不偏性、有効性、一致性を扱う。
第6章：Hypothesis Testing
帰無仮説を対立仮説に対して検定する論理を述べ、第一種の過誤と第二種の過誤、およびそれらが意思決定に意味するところを含む。
第7章：Inferences Based on the Normal Distribution
正規分布に基づく平均と分散の手法を展開する。z 手法と t 手法、分散の推定を含む。
第8章：Types of Data: A Brief Overview
データの種類を分類し、それぞれに適した分析と計画の方法を関連づける短い章である。
第9章：Two-Sample Inferences
2標本を比較する手法で、平均と分散についての検定と区間（独立2標本の t 手法と F 手法）、およびそれらが必要とする仮定を扱う。
第10章：Goodness-of-Fit Tests
理論分布が観測データをどの程度よく記述するかを問い、カイ二乗適合度検定を展開する。
第11章：Regression
線形回帰を最小二乗推定によって導入し、当てはめたモデルがデータをどの程度よく記述するかを、残差分析を含めて評価する方法が続く。
第12章：The Analysis of Variance
分散分析は2標本の比較を3群以上へ拡張するもので、多重比較の手続きとこの方法の背後にある仮定を含む。
第13章：Randomized Block Designs
乱塊法が、実験単位の間の外来的な変動を制御して、処理効果をより精密に比較する方法を示す。
第14章：Nonparametric Statistics
最終章は、データに特定の分布を仮定しない方法を示す。符号検定やウィルコクソン検定のような、対応のある標本と独立な標本の検定を含む。
主要概念
第2–4章：確率、確率変数、特殊な分布
- 条件付き確率と独立性：事象どうしを関係づける基本的な道具。
- 期待値と分散：確率変数の中心とばらつきを表す要約量。
- 特殊な分布：データのモデルとして使われる二項、ポアソン、正規の各分布族。
第5–7章：推定、仮説検定、正規分布に基づく推測
- 最尤法とモーメント法：本書が推定量を得る二つの主な方法。
- 不偏性、有効性、一致性：推定量を比較する基準。
- 第一種・第二種の過誤：検定が誤りうる二つの形。
第8–14章：応用的な推測
- 適合度検定：仮定した分布を観測度数と照らして確かめる検定。
- 最小二乗法：線形回帰の背後にある当てはめの基準。
- 分散分析とブロック化：既知の変動要因を制御しながら、あるいは制御せずに、複数の処理を比較する方法。
- ノンパラメトリック検定：パラメトリックな仮定が成り立たないときの分布に依存しない代替手段。
批判的分析
長所
- 対象読者が明確。 出版社は本書を、微積分を3学期以上履修した学生向けの、微積分を学んだ学生が数理統計学に初めて触れる本と位置づけ、2学期の課程を支えるのに十分な内容があるとしている。
- 統計学と実験計画が一冊に。 ピアソンは、本書が統計学の原理とデータのモデル化を扱うと説明しており、目次もそれを裏づける。推定と検定のほか、終盤の三つの章が分散分析、乱塊法、ノンパラメトリック法を扱う。
- 一冊で全体の流れ。 14の章が、確率から特殊な分布、推測、回帰、計画された実験、分布によらない方法まで進むので、一冊で課程の確率の半分と推測の半分の両方を支えられる。
- 計算への接触。 出版社の説明によれば、本書は計算志向の学生にデータモデルの同定への現実的な接触を与える。
短所
- 微積分は実際に前提となる。 微積分を数学期にわたって学んでいない読者には、確率と分布の章が難しい。
- 確率は簡潔にしか扱われない。 推定の前にある章は三つだけなので、確率のより深い基礎が必要な学生は、専用の確率の本を併用するとよい。
- ベイズ的内容や測度論的内容は特色ではない。 目次にはベイズ法や確率の測度論的扱いの章がなく、本書は大学院の理論への道というより最初の一冊である。
コースにおける位置づけ
確率・統計のリストのなかで、本書は微積分を使う数理統計学の最初の課程にあたる。ブリッツスタインとファンの Introduction to Probability は、確率だけを扱うより徹底した学部向けの本で、ストーリー証明と R によるシミュレーションを特色とし、第2〜4章の併読書や前提として適している。イロウスキーとディーンの Introductory Statistics 2e とスピーゲルハルターの The Art of Statistics は、微積分を使わずに統計の実践を教えるもので、数学の前に考え方を知りたい読者の背景になる。
より深い理論には、カセラとバーガーの Statistical Inference とマヴラカキスとペンツァーの Probability and Statistical Inference が大学院レベルで似た範囲を扱い、後者にはベイズ法も含まれる。ウィリアムズの Probability with Martingales とミッツェンマッハーらの Probability and Computing は、それぞれ測度論とアルゴリズムの方向へ確率論をさらに進める本である。ラーセンとマークスはそれらへの入口であり、代わりにはならない。
本書の使い方
本書は、微積分の課程を終え、まだ数理統計学に触れていない数学、統計学、工学、理科系の学生向けである。標準的な手法がどのように導かれるかを知りたい人の独習書にもなる。
2学期の計画では、第1〜7章（確率、確率変数、特殊な分布、推定、仮説検定、正規分布に基づく推測）を前期に、第8〜14章（データの種類、2標本の推測、適合度、回帰、分散分析、ブロック化、ノンパラメトリック法）を後期に読む。微積分を使う確率の課程をすでに修めた学生は、第2〜4章を復習として読み、第5章から本格的に始めればよい。
演習に取り組むこと。導出を練習するのはそこである。仮説検定の章を、それに対応する推定の内容と見比べると、区間と検定が同じ問いにどう答えるかがわかる。