01 / 导读
导读
引用
Eccles, P. J. (1997). An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets and Functions. Cambridge University Press.
章节概要
序言之后，全书依次是六个板块，每个板块由两到五个简短的讲授章节组成，末尾附一章习题（讲授章节共二十四章）。书末是一章篇幅很长的习题解答和参考文献。以下概要依章节标题展开。
The language of mathematics；Implications；Proofs；Proof by contradiction；The induction principle；Problems I
第一个板块引入数学命题、蕴含以及标准的论证形式：直接证明、反证法和归纳原理。这一部分最直接地对应本书的既定目标，即教会学生理解和构造证明，并写出清晰的数学。
The language of set theory；Quantifiers；Functions；Injections, surjections and bijections；Problems II
第二个板块转向集合、量词和函数，包括把函数分为单射、满射和双射。后面的每个板块都要用到这些工具。
Counting；Properties of finite sets；Counting functions and subsets；Number systems；Counting infinite sets；Problems III
第三个板块是全书组合学的中心。它从计数和有限集合开始，接着讨论函数与子集的计数，其中有一章讲数系，最后探讨无限集合如何计数。
The division theorem；The Euclidean algorithm；Consequences of the Euclidean algorithm；Linear diophantine equations；Problems IV
第四个板块从带余除法定理和欧几里得算法开始进入数论，再沿着它们的推论一直讲到线性丢番图方程。
Congruence of integers；Linear congruences；Congruence classes and the arithmetic of remainders；Partitions and equivalence relations；Problems V
第五个板块展开整数的同余、线性同余式的求解和同余类的算术，最后以划分与等价关系收尾。
The sequence of prime numbers；Congruence modulo a prime；Problems VI
最后一个板块讨论素数序列和模素数的同余。
Solutions to exercises
习题解答约占46页，大约是全书的八分之一。
核心概念
前两个板块：证明与集合
- 蕴含与证明：“若……则……”命题的逻辑形式，以及建立这类命题的标准策略。
- 归纳原理：证明关于所有自然数的命题的方法。
- 量词：“对所有”和“存在”的记法与含义。
- 单射、满射与双射：函数的三种性质，本书后面用它们来比较集合。
第三个板块：计数
- 函数与子集的计数：用有限集合之间的映射和子集重新表述的计数问题。
- 无限集合的计数：把计数的想法推广到无限集合。
后三个板块：数论
- 欧几里得算法：第四个板块核心的反复做除法的方法，以及由它得到的推论。
- 线性丢番图方程：整数方程，其可解性借助该算法判定。
- 同余类及其算术：模 n 的余数的运算。
- 等价关系与划分：同余类背后的一般结构。
评析
优点
- 目的明确。 剑桥大学出版社把本书介绍为面向刚开始大学数学学习的学生的数学证明基本思想入门，重点放在理解和构造证明以及写出清晰的数学上。
- 通过三个主题学习证明。 本书没有抽象地讲逻辑，而是在集合论、组合学和数论上练习证明，出版社称这些主题是每位数学家工具箱的一部分。
- 详细的例题与课堂检验。 出版社把大量完整解出的例题和作者的课堂检验列为主要特点。
- 规律的练习节奏。 每个板块都以习题章结束，解答章篇幅很长，足以支持自学。
- 紧凑的设计。 约360页容纳二十四个讲授章节，每章6至15页，读者可以把每章当作一次学习的内容。
局限
- 话题范围较窄。 章节列表局限于逻辑与证明、集合与函数、计数和初等数论。如果还想在分析、线性代数或代数中练习证明，就需要另一本书。
- 对数系和无限集合的处理简短。 “Number systems”和“Counting infinite sets”各只有一章，每章十几页，想要完整地构造数系或学习较深入的基数理论的读者需要再读一本书。
在课程中的定位
在本课程的证明与逻辑类书籍中，埃克尔斯属于教授怎样写证明的入门书，而不是逻辑学教材。哈马克的 Book of Proof 是免费的证明方法入门，从集合、逻辑和计数开始；韦勒曼的 How to Prove It 则从命题的逻辑形式推导出证明策略。两者都把证明技巧放在第一位。埃克尔斯的目标相近，但把近一半篇幅用于计数和初等数论，因此也可以作为这两个领域的初步介绍。艾伦比的 Numbers and Proofs 在主题上最为接近，因为它同样通过数和集合来接近证明。
偏重逻辑的书则是另一类。利里和克里斯蒂安森的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 以及恩德顿的 A Mathematical Introduction to Logic 研究形式语言和演绎，而埃克尔斯不涉及这些。利贝克的 A Concise Introduction to Pure Mathematics 概览纯数学的若干领域，适合作为任何一本证明入门书之后的下一步。
如何使用本书
本书面向刚开始大学数学学习的学生，出版社提示的先修要求只有中学数学。对于需要为分析或代数的第一门课程练习证明的人，它同样有用。
前两个板块应当按顺序阅读，因为它们提供了后面要用到的语言、证明技巧和函数词汇。已经读过哈马克或韦勒曼这类证明教材的读者可以读得快一些。随后可依次阅读第三个板块（计数）和数论各板块（第四至第六个板块）。
每个板块末尾的习题要在继续往下读之前做完，认真尝试之后再核对解答。解答章可以用来观察一个完整的论证是怎样写出来的，因为写出清晰的数学正是本书明确提出的目标之一。