01 / 导读
导读
引用
Silverman, J. H. (2017). A Friendly Introduction to Number Theory (4th ed., Classic Version). Pearson. (Fourth edition first published 2012.)
章节概要
第四版共有46个印刷章节，大多篇幅很短（常为五到十页），另有四章和两个附录免费在线发布。作者网站给出的印刷篇幅为 ix + 409 页，在线部分56页。引言包括一份教师指南和关于计算机使用的讨论，第 ix 页的流程图显示各章之间的依赖关系。本书源自布朗大学的 Math 42 课程，该课程旨在吸引非理科学生学习大学数学。
第1–4章：什么是数论？；毕达哥拉斯三元组；毕达哥拉斯三元组与单位圆；高次幂之和与费马大定理
本书首先列出各类数（平方数、素数、三角数、完全数和斐波那契数），并介绍关于它们的典型问题。随后先用代数方法、再借助单位圆上的有理点用几何方法对毕达哥拉斯三元组分类，并追问高次幂的情形，引出费马大定理。
第5–7章：整除性与最大公因数；线性方程与最大公因数；因数分解与算术基本定理
欧几里得算法、线性方程 ax + by = c 的求解，以及素因数分解的唯一性。
第8–11章：同余；同余、幂与费马小定理；同余、幂与欧拉公式；欧拉φ函数与中国剩余定理
模 m 的算术，包括反证法以及"d 次多项式模 p 至多有 d 个根"这一事实。这几章讲费马小定理、欧拉公式、φ函数和中国剩余定理。
第12–15章：素数；素数计数；梅森素数；梅森素数与完全数
素数有无穷多个（第1章预告，将在第12章和第21章证明模4余1和余3的素数都有无穷多个，并讨论狄利克雷的一般定理）、素数的计数、梅森素数及其与完全数的联系。
第16–19章：模 m 的幂与逐次平方；计算模 m 的 k 次方根；幂、根与"牢不可破"的密码；素性检验与卡迈克尔数
快速模幂运算和模 m 求根引出第18章的 RSA 公钥密码系统，随后是素性检验方法和卡迈克尔数。
第20–23章：模 p 的平方；−1 是模 p 的平方吗？2 呢？；二次互反律；二次互反律的证明
二次剩余与勒让德符号、−1 和 2 这两种特殊情形、二次互反律（包括雅可比符号），以及艾森斯坦的证明。序言指出第23章难度明显更高，可以省略。
第24–25章：哪些素数是两个平方数之和？；哪些数是两个平方数之和？
费马关于可表为两平方和的素数的定理，以及把它推广到所有整数。
第26–29章：易如一二三；欧拉φ函数与因数和；模 p 的幂与原根；原根与指标
第四版新增的数学归纳法一章，接着是因数和。随后讨论原根和指标，并给出在科斯塔斯阵列上的应用。由于学生认为原根定理是全书最难的定理之一，这一版把它们移到了后面。
第30–34章：方程 X⁴ + Y⁴ = Z⁴；再论平方三角数；佩尔方程；丢番图逼近；丢番图逼近与佩尔方程
证明四次方数不能是两个四次方数之和，然后从平方三角数引到佩尔方程，并借助丢番图逼近求解。
第35–37章：数论与虚数；高斯整数与唯一分解；无理数与超越数
高斯整数及其唯一分解，以及关于无理数与超越数的一章。
第38–40章：二项式系数与帕斯卡三角；斐波那契的兔子与线性递推数列；啊，多么美妙的函数
二项式系数与帕斯卡三角，斐波那契数列及其他线性递推数列（包括斐波那契数列模 p 的周期），以及引入大O记号并用到微积分的一章。
第41–46章：三次曲线与椭圆曲线；有理点很少的椭圆曲线；椭圆曲线上模 p 的点；模 p 的挠点集与坏素数；亏量界与模性模式；椭圆曲线与费马大定理
椭圆曲线入门：有理点、模 p 的点、坏素数、亏量界以及与模性有关的规律。最后概述怀尔斯证明费马大定理的一些思想。
第47–50章（在线）：连分数的颠倒世界；连分数与佩尔方程；生成函数；幂和
关于连分数及其在佩尔方程中的应用、生成函数和幂和的免费在线章节，另附小合数因数分解表和素数表两个附录。
核心概念
第1–11章：基础
- 毕达哥拉斯三元组与有理点：a² + b² = c² 的整数解与单位圆上的有理点相对应。
- 欧几里得算法：计算最大公因数并求解整数线性方程。
- 算术基本定理：素因数分解的唯一性。
- 同余、费马小定理与欧拉公式：模算术的基本工具。
- 中国剩余定理：求解模数两两互素的同余方程组。
第12–19章：素数与密码学
- 梅森素数与完全数：形如 2ⁿ − 1 的素数及其与偶完全数的联系。
- 逐次平方与模 m 的 k 次方根：RSA 背后的计算。
- 卡迈克尔数与素性检验：能骗过费马检验的合数，以及更强的检验方法。
第20–29章：二次剩余与原根
- 二次互反律：把"p 是否为模 q 的平方"与"q 是否为模 p 的平方"联系起来的定律。
- 两平方和：哪些素数和整数可以写成 a² + b²。
- 原根：其各次幂给出模 p 的所有非零剩余的数。
第30–46章：丢番图方程及更远
- 佩尔方程：x² − Dy² = 1，借助丢番图逼近求解。
- 高斯整数：a、b 为整数的复数 a + bi，同样具有唯一分解性。
- 椭圆曲线：一种三次曲线，其上的点可以在有理数上和模 p 下研究，是费马大定理证明的核心。
评析
优点
- 先发现，后证明。 序言提出的目标是引导读者进行数学思考：先考察数值例子中的规律并据此提出猜想，然后才证明定理。作者免费公开的第1–6章正是按照"先实验、后证明"的模式展开的。
- 前提极少，却通向真正的数学。 只需要高中代数。作者指出，只有可省略的第40章和第49章实质性地用到微积分。然而本书一直讲到二次互反律、佩尔方程、高斯整数和椭圆曲线。
- 为灵活的课程而设计。 引言说本书约有两个学期的内容，建议以第1–11章为基础并讲到第18章的 RSA，然后给出几条一学期的路线，其中一条专为打算继续学习计算机科学或密码学的学生设计。依赖关系流程图以及第23章可以省略这一点，使选材很方便。
- 开放式习题与合理使用计算机。 许多习题有意设计成开放式的（"尽可能多地告诉我关于……的事"），作者提醒学生起初可能会感到不安。作者鼓励学生自己编程实现算法，而不是依赖现成软件，并对需要计算机的习题和项目作了标记。
局限
- 章节短，因而章节多。 印刷章节多达46章，有些主题分散在好几章中，读起来可能显得零碎。教师需要借助流程图来规划路线。
- 对基础好的学生可能节奏偏慢。 以例子为主、亲切随和的文风适合初学者。已经学过同余的学生可能会觉得开头几章过于从容，而且本书也不是一本简明的参考书。
- 部分内容只在网上。 连分数、生成函数和幂和已从印刷版中移出。作者还指出，某些低价印本删去了第21章并重新编排了后续章节号，因此他在网上免费提供了这一章。
在课程中的定位
Silverman 的书是本数论书单中亲切的第一本教材。Robin Wilson 的 Number Theory: A Very Short Introduction 是一份快速概览，可以先读以了解全貌，然后由 Silverman 教学生真正动手做数学。David Burton 的 Elementary Number Theory 是一本更传统的本科教材，在历史和计算方面涉及更广。Kraft 和 Washington 的 An Introduction to Number Theory with Cryptography 适合希望比 Silverman 第16–19章更以密码学为中心的学生。
Ireland 和 Rosen 的 A Classical Introduction to Modern Number Theory 以及 Hardy 和 Wright 的 An Introduction to the Theory of Numbers 是自然的下一步：前者进入代数数论，后者是经典的综合性巨著。Silverman 关于高斯整数和椭圆曲线的章节，是对 Ireland 和 Rosen 正式展开的那些主题的温和预习。
如何使用本书
本书面向修读第一门数论课程的本科生（包括非数学专业学生）以及自学者。前提是高中代数和乐于实验的态度，有一个简单的计算器就够了。会编程的读者被鼓励自己实现各种算法。
- 核心： 第1–11章，然后按作者的建议一直讲到第18章的 RSA。
- 选择后半部分： 引言建议的路线包括二次互反律、两平方和、佩尔方程与连分数（第20–26、31–34、47–48章），或费马方程与椭圆曲线（第30–34、41–46章）。面向计算机科学的路线是第19–22、26–29和38–40章。第23章可以跳过。
- 认真做开放式习题。 在寻找证明之前，先收集数据、尝试特殊情形并寻找推广。
- 利用作者的网站获取在线章节、勘误表以及较长计算机习题所需的数据。