An Introduction to the Theory of Numbers（数论导引）

引用

Hardy, G. H., & Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.; D. R. Heath-Brown & J. H. Silverman, Eds.). Oxford University Press.

章节概要

第六版共25章，另有附录、书目和索引，以及安德鲁·怀尔斯所作的序言和早期各版的序言。哈代和赖特在1938年的序言中说，这本书不是系统的专著，而是对数论多个侧面的一系列介绍，内容丰富多样但深度有限，围绕作者自己觉得有趣的题材展开。第1–24章是赖特为第五版（1979）修订过的作者原文；第25章讲椭圆曲线，是第六版新增的。1938年的序言说，前十八章除学校里通常教的内容外不假定任何知识，后六章要求多一点，但不超出简单的大学课程；每章之后附有注记。

第1–2章：素数序列（1）；素数序列（2）

三章讨论素数的前两章。第三章即第22章，在书中靠后很多的位置。

第3–4章：法里数列与闵可夫斯基的一个定理；无理数

第3章介绍法里数列以及闵可夫斯基的一个基本定理；第4章转向无理数。

第5–8章：同余与剩余；费马定理及其推论；同余的一般性质；合数模的同余

四章讲同余。一位评论者指出，诸如原根存在性这样的结果，有时在被证明之前很久就已使用。

第9–11章：数的小数表示；连分数；用有理数逼近无理数

这几章涵盖小数表示、连分数以及用有理数逼近无理数。莫德尔1939年的书评把小数和连分数与超越数一起归在“无理数”的名目下。

第12–15章：k(1)、k(i)与k(ρ)中的算术基本定理；若干丢番图方程；二次域（1）；二次域（2）

这一组把因子分解推广到简单的算术域，并将其应用于丢番图方程，然后用两章讲二次域。

第16–18章：算术函数φ(n)、μ(n)、d(n)、σ(n)、r(n)；算术函数的生成函数；算术函数的数量级

这几章涵盖常见的算术函数、它们的生成函数（狄利克雷级数和幂级数）以及数量级。

第19–21章：分拆；一个数表为两个或四个平方数；表为立方及更高次幂

分拆，以及把数表示为平方、立方和更高次幂之和。莫德尔指出，四元数出现在第20章中部。

第22–24章：素数序列（3）；克罗内克定理；数的几何

第22章回到素数；正如布罗德本特所指出的，从第三版起它包含了塞尔伯格对素数定理的初等证明。第23章讲克罗内克定理，第24章讲数的几何，这是作者原著的最后一章。

第25章：椭圆曲线

约瑟夫·H·西尔弗曼新写的一章；编者说它与原有的丢番图方程一章自然相连，讲的是已成为数论核心的课题；牛津大学出版社的介绍把它与模椭圆曲线以及费马大定理的证明联系起来。

核心概念

第1–15章：素数、同余、无理数与域

• 素数：第1、2、22章，共三章。
• 法里数列与闵可夫斯基定理：第3章。
• 同余：第5–8章。
• 连分数与无理数的逼近：第10–11章。
• 二次域与简单域中的唯一分解：第12章与第14–15章。

第16–25章：算术函数、加性问题与几何

• 算术函数与生成函数：第16–18章。
• 分拆：第19章。
• 平方和与高次幂之和：第20–21章。
• 数的几何：第24章。
• 椭圆曲线：第25章。

评析

优点

• 在易读的层次上涵盖广泛的题材。 伯克霍夫在1939年的书评中说，讨论所预设的技术知识是初等的，但洞察力和彻底性是专业水平的。作者自己的序言说，前十八章对聪明的大学生来说相对容易。
• 跟随学科发展的注记。 莫德尔称各章末的注记特别有价值，既有历史意义，又能把主题置于恰当的视野；第五版的注记由赖特修订，第六版则在专家协助下加以扩充，使之通向当前的研究。
• 易读而有个性的文风。 莫德尔形容这是一本清新、迷人的书，文风愉快易读，可以从头读到尾，也可以随手翻阅。伊恩·安德森在《数学公报》评论第六版时称它非常易读、清晰。
• 谨慎的第六版。 安德森说明，编者保持第五版正文不变，另加脚注、怀尔斯的序言、椭圆曲线一章，以及以前各版所缺的总索引。

局限

• 不是系统的课程。 作者说本书没有很明确的计划，并略去了二次型理论。莫德尔补充说，各个题目的安排不太讲究次序，有些结果在证明之前很久就被使用，有些证明是针对具体情形的。
• 深度不一。 序言说内容丰富多样但深度很少，因此想完整了解某一领域的读者需要专门的书。
• 更新都在注记里。 由于正文保持1979年的样子，近年的进展出现在脚注和各章末的注记中，而不在正文的论证里。

在课程中的定位

在一份其余多为按课程编写的书单里，这是经典的参考型著作。作为入门课程，Joseph Silverman 的《A Friendly Introduction to Number Theory》、David Burton 的《Elementary Number Theory》以及 Kraft 与 Washington 的教材（含密码学应用）都是循序渐进、附有习题的教学用书，Robin Wilson 的《Number Theory: A Very Short Introduction》则提供快速概览。哈代与赖特适合在这样的课程之后读，或与之同时读，作为证明和历史评注的来源。Ireland 与 Rosen 的《A Classical Introduction to Modern Number Theory》更深入代数与算术几何一侧，而哈代与赖特要到最后的椭圆曲线才触及这一侧；二者互相补充。

如何使用本书

正如牛津大学出版社所说，本书适合从一年级起的数学专业学生，他们想要一份丰富的经典题材选集，它也可作为数论学者的参考书。作者的序言说，前十八章除学校数学外不需要别的知识。

• 阅读课程的核心： 第1–3章、第5–11章和第16–18章（素数、法里数列、同余、无理数、连分数、算术函数）。
• 选读的扩展： 第12–15章（二次域）、第19–21章（分拆与幂和）、第23–24章（克罗内克定理与数的几何）以及第25章（椭圆曲线）。
• 读注记： 读完每章后再读该章的注记，里面有参考文献和后来的进展；想要习题和分级练习，可把本书与上面的课程式教材配合使用。