Elementary Number Theory（初等数论）

引用

Burton, D. M. (2011). Elementary Number Theory (7th ed.). McGraw-Hill.

章节概要

全书共16章，之后是杂题、附录（一般参考文献、延伸阅读和数表）、部分习题的答案和索引。若干章节以与该主题相关的数学家（高斯、费马、欧拉、梅森、拉格朗日、斐波那契、拉马努金）的小节开头，构成了本书的历史线索。

第1章：预备知识

两个小节，分别讲数学归纳法和二项式定理，为后面各章用到的证明技巧和恒等式做准备。

第2章：整数的整除理论

以早期数论的一节开头，随后展开带余除法、最大公约数和欧几里得算法，最后讲线性丢番图方程。这是这门学科的核心对象第一次集中出现的一章。

第3章：素数及其分布

讲算术基本定理、埃拉托斯特尼筛法和哥德巴赫猜想。素数先于同余出现，因此后面各章可以随时引用因数分解。

第4章：同余理论

在介绍卡尔·弗里德里希·高斯的一节之后，给出同余的基本性质、整数的二进制与十进制表示，以及线性同余和中国剩余定理。随后关于费马、欧拉、原根和互反律的各章，都属于同余理论的范围。

第5章：费马定理

从皮埃尔·德·费马开始，讲费马小定理与伪素数、威尔逊定理，以及费马–克莱奇克因数分解法。

第6章：数论函数

讨论约数之和与约数个数、莫比乌斯反演公式和取整函数，最后以日历方面的一个应用结束。

第7章：欧拉对费马定理的推广

从莱昂哈德·欧拉一节出发，引出欧拉φ函数、欧拉定理，以及φ函数的一些进一步性质。

第8章：原根与指数

引入整数模 n 的阶、素数的原根、有原根的合数模，以及指数理论。

第9章：二次互反律

展开欧拉判别法、勒让德符号及其性质、二次互反律本身，以及合数模的二次同余。对许多课程来说，这是古典主线的终点。

第10章：密码学导论

从凯撒密码一直讲到公钥密码，然后讲背包密码系统，以及原根在密码学中的一个应用。这一章只有三个小节，所以是对该主题的介绍，而不是详尽的论述。

第11章：特殊形式的数

从马兰·梅森开始，讲完全数、梅森素数、亲和数和费马数。

第12章：某些非线性丢番图方程

分为两节：一节讲一个特定的非线性丢番图方程，另一节讲费马大定理。

第13章：整数表为平方和

在约瑟夫·路易·拉格朗日一节之后，讲两个平方数之和，以及多于两个平方数之和。

第14章：斐波那契数

介绍斐波那契其人、斐波那契数列，以及关于斐波那契数的若干恒等式。

第15章：连分数

从斯里尼瓦瑟·拉马努金一节开始，讲有限连分数与无限连分数、法里分数和佩尔方程。

第16章：近期进展

这是一章概览：哈代、迪克森与厄多斯；素性检验与因数分解；因数分解的一个应用，即远程抛硬币；素数定理与ζ函数。

核心概念

第1–3章：预备知识、整除性、素数

• 数学归纳法：开篇复习、后面论证中使用的证明技巧。
• 欧几里得算法：计算最大公约数的方法，也可用来解线性丢番图方程。
• 算术基本定理：整数可以唯一地分解为素数之积。

第4–5章：同余与费马定理

• 同余：模 n 的算术，并系统地求解线性同余。
• 中国剩余定理：同时求解模数不同的若干同余式。
• 费马小定理与威尔逊定理：关于素数模下的幂和阶乘的两个经典结果。
• 伪素数：能通过费马型检验的合数，把这一定理与素性检验联系起来。

第6–8章：数论函数、欧拉定理、原根

• 莫比乌斯反演公式：由关于约数的求和函数恢复原函数的方法。
• 欧拉φ函数与欧拉定理：计数模 n 的可逆元，并推广费马定理。
• 原根与指数：其幂遍历模 n 全部可逆元的数，以及建立在其上的指数理论。

第9–10章：二次互反律与密码学

• 勒让德符号与二次互反律：判断一个数是否为某个素数模下平方数的工具。
• 公钥密码：从古典密码到现代体制的路线，书中以背包密码系统为例。

第11–16章：专题

• 完全数、梅森素数与费马数：特殊形式的数及其联系。
• 平方和：哪些整数可以表为两个或更多个平方数之和。
• 连分数与佩尔方程：逼近实数，并求解一个经典的丢番图方程。
• 素数定理与ζ函数：数论的解析一面，直到最后一节才出现。

评析

优点

• 历史背景融入结构。 出版社的介绍把本书定位为对古典数论的简明叙述，以从古代到近期研究的历史为背景。目录印证了这一点：高斯、费马、欧拉、梅森、拉格朗日、斐波那契和拉马努金各自成为一节的标题，第2章也以早期数论开头。
• 清晰的古典主线。 第2章到第9章沿一条线推进：整除性、素数、同余、费马与欧拉、原根、二次互反律。读者可以不绕弯地走完标准课程，后面各章各讲一个独立的话题，可以按兴趣选择。
• 后半部分题材广泛。 特殊数、平方和、斐波那契数、连分数以及对近期进展的概览，让课程在讲完核心之后有很多选择。
• 对做题的支持。 书末有杂题、数表、部分习题的答案，以及一般参考文献和延伸阅读，学生可以核对结果，也能找到接下来读什么。

局限

• 古典范围。 目录中看不到代数数论，素数定理和ζ函数只出现在最后一章的最后一节。要走向代数数论或解析数论的学生需要另找教材。
• 密码学较简短。 密码学只有一章，三个小节，排在二次互反律之后；以密码学为中心的课程会希望有一本更早、更充分地融入密码学的书。
• 只有部分习题有答案。 书末提供的是部分习题而非全部习题的答案，独自学习的学生核对证明的手段有限，有学习伙伴或老师会更有帮助。
• 小节较少的章节。 有几章只有很少的小节：第12章两节，第3、10、14章各三节，想在这些话题上深入的课程可能需要补充材料。

在课程中的定位

在本站的数论书籍中，Burton 是一本古典的一学期教材。Silverman 的 A Friendly Introduction to Number Theory 从高中代数出发，强调实验与猜想，是更平缓的入门第一本；Robin Wilson 的 Number Theory: A Very Short Introduction 是一本配有简短证明和历史的紧凑导览，适合想在投入完整课程之前先了解全貌的读者。Burton 则是古典课程的完整篇幅的讲法，经原根和二次互反律，一直到平方和与连分数等后面的章节。

Kraft 和 Washington 的 An Introduction to Number Theory with Cryptography 涵盖许多相同的古典内容，同时把密码学应用贯穿始终，因此在以安全和计算为目标时是自然的替代选择。若要更进一步，Hardy 和 Wright 的 An Introduction to the Theory of Numbers 是初等数论与解析数论的经典论著；Ireland 和 Rosen 的 A Classical Introduction to Modern Number Theory 是以抽象代数为前提的研究生教材，通向互反律、有限域上的ζ函数和椭圆曲线。

如何使用本书

出版社把本书定位为数学专业、中学教育专业和计算机科学专业学生修读的一学期本科数论课程的教材。本站的先修条件一栏写的是包括归纳法在内的一些证明经验，第1章会复习归纳法和二项式定理。

第一遍阅读的实用计划如下：

• 核心： 第2–5章和第7–9章，即从整除性到二次互反律。第6章的数论函数（及其日历应用）可以根据时间决定取舍。
• 按兴趣选择： 密码学读第10章，特殊数和平方和读第11章和第13章，连分数和佩尔方程读第15章，第16章则可作为素性检验和解析方法的预告。
• 历史小节： 作为背景阅读；它们介绍结果背后的人物，也能说明某个话题为什么出现在课程中。
• 习题： 每一节都要做计算题和证明题的搭配，并用书末部分习题的答案和数表核对结果。

读完之后还想深入的读者，可以把本书的延伸阅读作为起点，或转向上面提到的更高阶的教材。