Linear Algebra（线性代数）

引用

Hefferon, J. (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing L3C. Free official edition: https://hefferon.net/linearalgebra/

章节概要

第1章：线性方程组

本书从两个小的应用实例（质量平衡和化学反应）开始，随后展开高斯方法，并证明其中使用的行变换不会改变解集。本章用向量形式描述解集，证明任何解集都是一个特解加上对应齐次方程组的全部解，因此要么为空，要么只有一个点，要么有无穷多个元素。关于 ℝⁿ 中线性几何的一节（直线、平面、长度、夹角、柯西–施瓦茨不等式和三角不等式）标有星号，属于可选内容。本章最后讨论高斯–若尔当消元法、线性组合引理，并证明每个矩阵都可化为唯一的简化阶梯形。专题包括计算机代数系统、投入产出分析、计算精度和电路网络。

第2章：向量空间

本章以"齐次方程组的解集对线性组合封闭"这一观察为动机，定义实数域上的向量空间，并讨论大量例子（包括多项式、矩阵和函数构成的空间）以及子空间与张成。随后研究线性无关、基和维数，利用交换引理证明有限维空间的所有基大小相同。III.3 节通过行空间、列空间以及"行秩等于列秩"定理把这些概念与线性方程组重新联系起来；可选的一节讨论子空间的和与直和。专题包括域、晶体、投票悖论和量纲分析。

第3章：空间之间的映射

这是篇幅最长的一章，把"某些空间是'相同的'"这一直觉精确化：先定义同构，并证明有限维空间在同构意义下由维数决定。接着讨论同态（线性映射），包括值域空间、零空间以及"秩加零度等于定义域维数"的定理。然后把矩阵引入为线性映射相对于基的表示，因此矩阵乘法被定义为表示映射的复合；逆矩阵、基变换以及"矩阵等价当且仅当秩相同"的结论构成核心内容的收尾。可选小节讨论正交投影、格拉姆–施密特正交化和向子空间的投影。专题包括最佳拟合直线、线性映射的几何、幻方、马尔可夫链和正交矩阵。

第4章：行列式

本章从"寻找判定方阵是否非奇异的公式"这一目标出发，先探索小规模情形，再通过行列式在行变换下应满足的性质来定义它，证明其唯一性，并用置换展开构造它（借助逆序数和符号函数的存在性证明标有星号）。有一节把行列式解释为映射使盒子（平行体）体积变化的倍数，可选的一节给出拉普拉斯展开和用伴随矩阵求逆的公式。专题包括克拉默法则、行列式的计算速度、基奥方法、射影几何和计算机图形学。

第5章：相似

最后一章探讨：表示空间到自身的变换的最简单矩阵是什么。在标有星号的多项式因式分解与复数复习之后，本章改用复数作为标量，定义相似、可对角化、特征值、特征向量、特征多项式和特征空间，并证明属于不同特征值的特征向量线性无关。可选小节通过基向量"串"研究幂零映射，并讨论最小多项式、凯莱–哈密顿定理和若尔当标准形。专题包括幂法、稳定人口、网页排名、线性递推和耦合振子。

附录

简短的附录为初次接触证明的读者复习命题、量词、证明技巧（包括归纳法）以及集合、函数与关系。

核心概念

第1章：线性方程组

• 高斯方法：通过交换行、数乘行和行的倍加，把方程组化为阶梯形而不改变其解。
• 通解 = 特解 + 齐次解：线性方程组的每个解集都等于一个特解加上相应齐次方程组的全部解。
• 简化阶梯形：与给定矩阵行等价的唯一完全化简矩阵，可用来标识行等价类。

第2章：向量空间

• 向量空间：带有满足一组条件的加法和数乘的集合，使关于线性组合的结论一次适用于所有情形。
• 线性无关：集合中没有任何向量是其他向量的线性组合。
• 基与维数：线性无关的张成集是基；有限维空间的每个基大小都相同。
• 行秩等于列秩：任何矩阵的行空间和列空间维数相等。

第3章：空间之间的映射

• 同构：既单又满的线性映射；有限维空间同构当且仅当维数相同。
• 秩–零度定理：对线性映射而言，值域维数加零空间维数等于定义域维数。
• 矩阵表示：在选定基下记录线性映射的矩阵；矩阵相乘表示映射复合。
• 基变换：用非奇异矩阵转换表示；表示同一映射的矩阵彼此矩阵等价。

第4章：行列式

• 作为函数的行列式：方阵上唯一一个在行变换下按规定方式变化、并在单位矩阵上取值 1 的函数。
• 置换展开：把行列式写成对置换的带符号求和的公式，由此证明存在性以及矩阵与其转置行列式相同。
• 作为体积的行列式：行列式的绝对值给出变换使盒子体积放缩的倍数。

第5章：相似

• 相似矩阵：在不同基下表示同一变换的矩阵 T 与 PTP⁻¹。
• 特征值与特征向量：满足 t(v) = λv 的标量 λ 和非零向量 v，通过特征多项式的根求得。
• 若尔当标准形：由幂零串构建的近似对角表示，对有限维复空间上的每个变换都存在。

评析

优点

• 有意识地过渡到证明。 序言描述了一种"发展式"方法：所有结论都给出证明，但理论被详细的例子环绕。证明从第1章就开始——高斯方法的正确性和简化阶梯形的唯一性——因此第2章转向抽象向量空间时不会显得突兀。
• 先讲线性映射，再讲矩阵。 第3章把矩阵定义为映射的表示，并由复合推导出矩阵乘法，学生能看清运算为何这样定义，基变换也随之自然出现。
• 习题量大且有梯度。 序言的目标是每小节约二十多道题，从常规检验到较复杂的证明都有；推荐题样本在页边做了标记，一些取自期刊和竞赛的趣味难题另有标注。答案作为单独文件可在作者网站获取。
• 可选的应用与计算专题。 每章以简短专题结束——投入产出分析、投票悖论、马尔可夫链、计算机图形学、网页排名等——每个专题都配有习题和延伸阅读指引，篇幅适合一次课或学生项目。

局限

• 以实数为标量，内积理论有限。 第5章之前向量空间都在实数域上；正交性只在 ℝⁿ 和可选小节中出现，没有系统讨论一般内积空间、谱定理或奇异值分解。
• 高阶内容带星号且较为压缩。 幂零性、最小多项式和若尔当标准形集中在最后的可选小节；像序言中那样典型的一学期进度，只能讲到第5章中关于特征值的前半部分。
• 数值线性代数较少。 "计算精度"和"行列式的计算速度"两个专题介绍了选主元、条件数和运算次数，但没有展开 LU 分解或迭代方法。
• 编号方式独特、章节较长。 小节按"Three.IV.2"的方式引用，五章篇幅都很长，与章节更多更短的教材相比，查找某个具体结论可能更费事。

书中的应用

应用集中在每章末尾的专题中。第1章涉及计算机代数系统（附 Sage 示例）、列昂季耶夫投入产出分析、舍入误差与选主元，以及用基尔霍夫定律分析电路网络和交通网络。第2章讨论域、晶格、投票悖论（分解多数循环）和量纲分析。第3章包括最小二乘最佳拟合直线、线性映射的几何、幻方、马尔可夫链和正交矩阵。第4章介绍克拉默法则、运算次数、基奥方法、射影几何和计算机图形学；第5章介绍幂法、稳定人口、网页排名、线性递推（如斐波那契数）和耦合振子。

在课程中的定位

在本课程的书目中，Hefferon 与 Gilbert Strang 的 _Introduction to Linear Algebra_以及 Anton 等人的 _Elementary Linear Algebra_处于相近位置，后两者一般被视为以计算为中心的入门教材。Hefferon 覆盖的范围相似——方程组、向量空间、映射、行列式、特征值——但它证明每一个结论，并从线性映射出发引出矩阵，因此适合希望在第一门课中同时培养证明能力的学生。想多做矩阵计算或数值练习的学生，可以把它与另一本入门教材搭配使用。

Horn 与 Johnson 的 Matrix Analysis 是研究层次的矩阵理论参考书，应在入门课程之后阅读；Hefferon 第5章（相似、特征值及可选的若尔当标准形）是通往该书最直接的准备，不过由于本书对内积的讨论有限，学生在此之前还需进一步学习这些内容。

如何使用本书

本书为标准的本科第一门线性代数课程而写，典型读者是至少学过一学期微积分的二、三年级学生；不要求有写证明的经验，附录复习了逻辑、证明技巧和集合记号。序言中的进度表假定读者已经学过 One.II 节的基本向量内容。

一学期的课程可以按该进度表安排：第1章（第 I、III 节）、第2章、第3章直到基变换（第 I–V 节）、第4章的 I.1–I.3 节和第 II 节，以及第5章第 II 节（相似、可对角化和特征值）。带星号的小节——若尔当标准形、投影、拉普拉斯展开——适合作为较长课程或自学的延伸。每章可选一两个专题作为拓展，最好借助 Sage 之类的软件。最重要的是遵循作者的建议：多做习题，尤其是页边标记的题目，并在查阅单独的答案文件之前，用计算或证明为每个答案给出理由。

版本与来源

本导读依据 Jim Hefferon 所著 Linear Algebra 第四版（序言日期为 2020 年 4 月，PDF 生成于 2020 年 5 月），阅读的是作者官方页面（https://hefferon.net/linearalgebra/，文件存放于作者在佛蒙特大学的网站）链接的免费 PDF。导读参考了符号表、序言（方法、习题、应用、进度表和建议）、完整目录、全部五章的引言、所有节与小节标题、全书带编号的定理、引理和推论的陈述、每个专题的开篇以及附录的结构。