01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Dobrow, R. P. (2016). Introduction to Stochastic Processes with R. Wiley.
章の要約
本書は約500ページで、9つの章のあとに4つの付録（R入門のチュートリアル、確率の復習、主な確率分布のまとめ、行列代数の復習）と、奇数番号の演習の一部についての解答が続く。出版社によれば例は200以上、章末演習は600題以上あり、付属ウェブサイトには本書で使われるデータファイルとすべてのRコード・スクリプトが置かれている。アスタリスク付きの節は任意であり、最終章も全体が任意である。
第1章：序論と復習
細菌の個体数の指数的増加と、それに対応する確率的な出生モデルを並べて決定論的モデルと確率モデルを対比し、PageRank、Reed–Frost の流行モデル、ボードゲームのモノポリー、ランダムウォークと破産問題、ブラウン運動といった例を通じて確率過程を定義する。モンテカルロ・シミュレーションを導入したあと、条件付き確率と条件付き期待値を、確率変数のランダムな和も含めて長く復習する。これらは本書の残りの部分が依拠する道具である。
第2章：マルコフ連鎖：最初の一歩
離散時間マルコフ連鎖を初めて扱う章で、定義、多彩な例の「コルヌコピア」、推移行列を用いた基本的な計算、長期的なふるまいについての数値的な証拠、そしてシミュレーションを扱う。任意の節で数学的帰納法を復習する。
第3章：長期的に見たマルコフ連鎖
最も長い章である。極限分布と定常分布、状態間の到達可能性、既約性、周期性、エルゴード的な連鎖、時間反転可能性、吸収的な連鎖を扱う。任意の節では再生と強マルコフ性を扱い、極限定理の証明を与える。
第4章：分枝過程
各個体がランダムな数の子をもつ個体群モデルを扱う。世代の平均サイズ、確率母関数、絶滅確率である。
第5章：マルコフ連鎖モンテカルロ法
シミュレーションの道具としてのマルコフ連鎖を扱う。Metropolis–Hastings 法とギブス・サンプラーを示し、任意の節で完全サンプリング、収束の速さと固有値との関係、全変動距離で測ったカードのシャッフルを扱う。
第6章：ポアソン過程
到着時刻と到着間隔、微小確率、間引きと重ね合わせ、到着時刻の一様分布、空間ポアソン過程と非斉次ポアソン過程を扱い、「Parting Paradox」と題した節で締めくくる。
第7章：連続時間マルコフ連鎖
連続時間で動く連鎖を「目覚まし時計」と推移率によって導入し、続いて無限小生成作用素、長期的なふるまい、時間反転可能性、待ち行列理論、ポアソン従属化を扱う。
第8章：ブラウン運動
ブラウン運動を、ランダムウォークの極限として、ガウス過程として、そしてその変換と性質を通じて扱い、変種と応用、マルチンゲールへの入門が続く。
第9章：確率解析へのやさしい入門*
伊藤積分と確率微分方程式を扱う任意の最終章である。出版社は本書の話題の1つとしてブラック–ショールズのオプション価格づけを挙げている。
主要概念
第1–3章：基礎と離散時間マルコフ連鎖
- 条件付き期待値：ある確率変数が与えられたときの別の確率変数の期待値で、それ自体を確率変数として扱う。
- モンテカルロ・シミュレーション：確率過程を何度もシミュレートして確率や期待値を推定すること。
- 推移行列：1ステップの確率を並べた行列で、そのべき乗が多ステップのふるまいを与える。
- 定常分布と極限分布：連鎖の長期的なふるまい。エルゴード的な連鎖では存在が保証される。
- 吸収的な連鎖：最終的に抜け出せない状態で止まる連鎖。破産問題のような問いに用いられる。
第4–5章：分枝過程とMCMC
- 確率母関数：分枝過程の絶滅確率を計算するための道具。
- Metropolis–Hastings 法とギブス・サンプリング：定常分布が目標の分布となるマルコフ連鎖を構成するアルゴリズム。
- 全変動距離：連鎖が定常状態にどれだけ近いかを測る尺度で、カードのシャッフルに応用される。
第6–7章：連続時間
- ポアソン過程：独立で指数分布に従う到着間隔をもつランダムな到着。
- 間引きと重ね合わせ：ポアソン過程を分割し、また合併すること。
- 無限小生成作用素：連続時間の連鎖を記述する推移率の行列。
- 待ち行列モデル：客が到着しサービスを受けるようすを表す連続時間の連鎖。
第8–9章：ブラウン運動と確率解析
- ブラウン運動：ランダムウォークの極限として得られる連続時間・連続状態の過程で、ガウス過程でもある。
- マルチンゲール：現在が与えられたときの将来の期待値が現在の値に等しい過程。
- 伊藤積分と確率微分方程式：ブラウン運動に関する積分と、それを用いて組み立てられる方程式。
批判的分析
長所
- シミュレーションが組み込まれている。 Rは付け足しではなく説明の一部である。第1章でモンテカルロ・シミュレーションを導入し、第2章にはマルコフ連鎖のシミュレーションの節があり、「R」印の演習は Reed–Frost モデルのようなスクリプトファイルを参照させ、付属ウェブサイトには本書で使われるすべてのコードがある。付録AはRを使い始めるための手引きである。
- 多くの分野からの例。 第1章だけでもウェブ検索、感染症の流行、ボードゲーム、大気の観測、ギャンブルを題材にしており、出版社はグラフ上のランダムウォーク、カードのシャッフル、遺伝学、暗号、オプション価格づけを話題として挙げている。例は短く具体的である。
- 入門書としては幅広い内容。 標準的なマルコフ連鎖とポアソン過程に加えて、分枝過程、まる1章のマルコフ連鎖モンテカルロ法、待ち行列、ブラウン運動、マルチンゲール、伊藤解析の入口まで含んでおり、授業は重点を選ぶことができる。
- 独学を支える工夫。 確率と行列代数の復習付録、第1章での条件付き確率と期待値の長い復習、奇数番号の演習の一部への解答により、教室の外でも使える。
短所
- 深さより幅。 任意の「やさしい入門」は伊藤積分と確率微分方程式を約30ページで扱うにすぎず、ファイナンスや確率微分方程式に関心のある読者は、このコースの専門書が必要になる。更新理論は目次に話題として現れない。
- 証明の一部が任意扱い。 マルコフ連鎖の極限定理の証明は第3章末のアスタリスク付きの節にあるため、アスタリスク付きの内容を省く授業では、証明される結果が述べられる結果よりも少なくなる。
- 確率論の授業を前提とする。 第1章と付録Bで確率を復習するが、ペースは速い。本書は確率論の最初の授業のための本ではない。
- 1つの言語に結びついている。 ソフトウェアの支援はRのみで、Pythonなどほかの言語を使う読者はスクリプトを翻訳する必要がある。
コースにおける位置づけ
本書は確率過程の授業で最初に使う教科書として自然であり、とくにシミュレーションを通じて学ぶのが得意な学生に向いている。Sheldon Ross の Introduction to Probability Models は似た範囲（マルコフ連鎖、ポアソン過程、連続時間の連鎖）を扱いつつ、待ち行列、信頼性、更新現象などの応用により重きを置き、多くの例題を含む。Dobrow と並行して追加の問題の供給源として使うことも、代わりの主教科書として使うこともできる。Sidney Resnick の Adventures in Stochastic Processes は、マルコフ連鎖、更新過程と点過程、ブラウン運動、ランダムウォークをより厳密に扱う本で、第3、6、8章のあとの次の一歩としてよい。
ファイナンスと確率解析については、Dobrow の第9章は予告にすぎない。Steven Shreve の Stochastic Calculus for Finance I は、離散時間の二項モデルでマルチンゲール、測度変換、オプション価格づけを展開しており、本書の第3章や第8章とよく組み合わさる。そのうえで Bernt Øksendal の Stochastic Differential Equations、Lamberton と Lapeyre の Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance、Tomas Björk の Arbitrage Theory in Continuous Time が、伊藤解析と連続時間ファイナンスを本格的に扱う。
本書の使い方
本書は、微積分を用いる確率論の授業と多少の線形代数を履修した、数学、統計学、自然科学、工学の学部生に適している。出版社は大学院初年次の学生や、復習したい応用数学者・統計学者も対象に挙げている。Rが初めての人には付録Aが手がかりになる。
1学期の授業のための読書計画：
- 中核： 第1章（確率に自信があれば復習は手早く進めてよいが、条件付き期待値の例は解くこと）、第2章と第3章、第6章、第7章。
- 1つか2つを選ぶ： 個体群モデルなら第4章、シミュレーションとベイズ計算なら第5章、ブラウン運動とマルチンゲールなら第8章。
- 任意： 第3章の極限定理の証明を含むアスタリスク付きの節と、ファイナンスに進む学生のための第9章。
読みながら付属ウェブサイトのRスクリプトを実行するとよい。連鎖をシミュレートし、その結果を本文で計算される厳密な定常分布や吸収確率と比べるのである。解析的な演習と並んで「R」印の演習にも取り組み、奇数番号の答えは巻末で確かめること。