01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Susskind, L., & Hrabovsky, G. (2014). The Theoretical Minimum: What You Need to Know to Start Doing Physics. Basic Books.
章の要約
本書は、レオナルド・サスキンドがスタンフォード大学の社会人向け講座で行ってきた「シアレティカル・ミニマム」の講義から生まれた。彼のウェブサイトによれば、この講座は代数と微積分を少し知っている、あるいはかつて知っていたが、それ以外は初心者である人々を対象としている。本文は約240ページで、番号付きの11の講義、数学が初めて必要になる箇所に置かれた三つの短い数学の幕間、そして一つの付録から構成される。出版社は本書を「熱心なアマチュア」のための物理学とその数学の最初の課程と位置づけ、自分のペースで学びたい読者に向けている。
第1講：古典物理学の本質
有限個の状態しかもたない単純な力学系を通じて、古典物理学とは何かを導入する。節の見出しは、状態空間、「マイナス第一法則」（許されない規則）、無限個の状態をもつ力学法則、サイクルと保存則、そして精度の限界を扱っている。
幕間1：空間、三角法、ベクトル；第2講：運動
最初の幕間では座標、三角法、ベクトルを復習する。第2講では微分法を導入し、それを用いて粒子の運動を記述し、運動の例題を解く。
幕間2：積分法；第3講：力学
二つ目の幕間は部分積分を含む積分を扱う。第3講はアリストテレスの運動法則から始め、質量・加速度・力、単位、ニュートン方程式の解の例へと進む。
幕間3：偏微分；第4–5講：複数の粒子からなる系；エネルギー
三つ目の幕間は、偏微分と、一次元および多次元における停留点と極小を扱う。続く変分法に必要な道具である。第4講は粒子系、その状態空間、運動量と位相空間、作用・反作用と運動量保存を扱う。第5講は、まず一次元で、次に多次元で、力と位置エネルギーを結びつける。
第6講：最小作用の原理
本書の転換点であり、節の見出しはこれを上級の力学への移行と表現している。作用とラグランジアンを定義し、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、それをより多くの粒子と次元に拡張する。最小作用がなぜ有用かを論じ、一般化座標と一般化運動量、循環座標を導入する。
第7講：対称性と保存則
対称性の例、より一般的な対称性、そして対称性からどのように保存量が導かれるかを扱う。
第8–9講：ハミルトン力学と時間並進不変性；位相空間の流体とギブズ＝リウヴィルの定理
第8講は時間並進に対する対称性をエネルギー保存に結びつけ、次に位相空間とハミルトン方程式を導入し、調和振動子を例として解く。第9講は位相空間内の運動を流体の流れとして扱い、発散、リウヴィルの定理、ポアソン括弧を導入する。
第10–11講：ポアソン括弧、角運動量、対称性；電気力と磁気力
第10講はポアソン括弧による力学の公理的な定式化を示し、それを角運動量（レヴィ＝チヴィタ記号を用いる）、こまと歳差運動、そして対称性と保存の関係に適用する。第11講はベクトル場とナブラ演算子、磁場、荷電粒子に働く力、場の中の荷電粒子のラグランジアンとハミルトニアン、一様磁場中の運動、そしてゲージ不変性を導入する。
付録：中心力と惑星の軌道
重力という中心力とその位置エネルギー、軌道運動が平面内に収まる理由、極座標、有効ポテンシャルエネルギーの図、ケプラーの法則を扱う。
主要概念
第1–5講：基礎
- 状態空間と力学法則：系がとりうる状態と、ある状態を次の状態へ移す規則。最初は有限個の状態をもつ系で導入される。
- 「マイナス第一法則」：第1講で、ある種の力学法則を許されないものとして排除する原理につけられた本書の呼び名。対応するオンライン講義では、同じ単純な系を使って可逆性と決定論が導入される。
- 位相空間：力学系の状態を指定する位置と運動量の空間。
- 位置エネルギー：保存力がそこから導かれる関数。
第6–7講：最小作用と対称性
- 作用とラグランジアン：その停留値が実際の運動を選び出す量。
- オイラー＝ラグランジュ方程式：最小作用の原理から導かれる運動方程式。
- 循環座標：ラグランジアンに現れない座標で、それに共役な運動量は保存される。
- 対称性と保存：連続的な対称性の一つ一つが保存量に対応する。
第8–11講：ハミルトン力学と場
- ハミルトン方程式：位相空間における一階の運動方程式。
- リウヴィルの定理：位相空間内の点の流れは非圧縮性の流体のようにふるまう。
- ポアソン括弧：力学の公理的な定式化の基礎となる代数的構造。
- ゲージ不変性：物理を変えずにポテンシャルを選ぶ自由。
批判的分析
長所
- 現代的な定式化に早く到達する。 最小作用の原理は第6講、100ページを少し過ぎたところで登場し、残りの講義では対称性、ハミルトン力学、リウヴィルの定理、ポアソン括弧を扱う。標準的な入門課程が二年次や三年次の課程に先送りする内容である。
- 数学を使う場所で教える。 ベクトル、積分、偏微分を扱う三つの幕間は、それを必要とする講義の直前に置かれているので、微積分の記憶が薄れた読者にも使いやすい。スタンフォードの講座紹介も、このシリーズを代数と微積分を少し知っている、あるいはかつて知っていた人々のためのものとしている。
- 最初から概念の枠組みを示す。 第1講は、微積分を使う前に、ごく単純な系から状態、決定論的で可逆な法則、保存の考え方を組み立てる。対称性と保存は後の講義を貫く糸であり、オンライン講座の紹介もそれを強調している。
- 明快で簡潔な文章。 出版社が引用する書評は、本書を非常に読みやすい（Physics World）、きびきびとした骨組みだけの入門（Publishers Weekly）と評している。
短所
- 意図して骨組みだけにしている。 ニュートンの法則からゲージ不変性までを約240ページで扱うため、剛体、振動、軌道など、教科書なら数章をかけて展開する話題は一節か付録で済まされる。
- 授業用の教科書ではない。 出版社は本書を、自分のペースで学ぶアマチュアのための道具箱と位置づけている。授業では、体系的で段階的な問題演習のために別の教科書が必要になる。
- 途中でペースが急に上がる。 最初の五つの講義はゆっくり進むが、第6–10講はラグランジュとハミルトンの形式を短い範囲に詰め込んでいる。微積分に不慣れな読者は、幕間やほかの資料に頼らないとついていけないかもしれない。
コースにおける位置づけ
この力学のコースの中で、本書は簡潔な橋渡しの役を果たす。チャベイとシャーウッドの Matter and Interactions は問題と計算を備えた微積分ベースの本格的な一年次課程であり、テイラーの Classical Mechanics はラグランジュ法とハミルトン法を詳しく展開し、段階的な問題を多数収めた中級課程の教科書である。デイヴィッド・モーリンの Introduction to Classical Mechanics は解答付きの大量の問題を収め、ゴールドスタイン、プール、サフコの Classical Mechanics は大学院レベルの扱いである。サスキンドとフラボフスキーの講義は、テイラーの変分法、ラグランジュ方程式、ハミルトン力学の章の前に予習として読むことも、形式がどこへ向かうのかを示す短い概観として並行して読むこともできる。アレクサンダー・スミッツの A Physical Introduction to Fluid Mechanics は別の流れの本で、重なりはほとんどない。
本書はシリーズの第一巻でもある。量子力学のコースのリストには、アート・フリードマンとの共著による第二巻 Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum が含まれており、同じスタイルで続いている。
本書の使い方
理想的な読者は、高校程度の代数と少なくともある程度の微積分を身につけ、物理学者が力学をどのように定式化するのかを知りたい人である。独学者でも、中級の力学の授業に備える学生でもよい。実際的な読み方は次のとおりである。
- 第1–5講と幕間： 着実に読む。幕間は、その内容をすでに知っている場合にだけ飛ばす。第1講の状態、可逆性、保存についての考え方は後で再び登場するので、丁寧に読む価値がある。
- 第6–8講： 中核部分。導出の一つ一つを紙とペンでたどり、第8講で扱われる調和振動子のような簡単な例で、オイラー＝ラグランジュ方程式とハミルトン方程式をニュートンの法則と照らし合わせる。
- 第9–11講と付録： 中核の後に読む。第11講は電磁気学への自然なつなぎであり、中心力とケプラーの法則を扱う付録は、それまでの講義を応用するのによい場所である。
シアレティカル・ミニマムのウェブサイトからは、サスキンドがスタンフォードで行った古典力学の講義の録画にリンクが張られており、同じ課程を扱っているので、読書と並行して視聴できる。本書を超える演習には、テイラーやモーリンのような教科書の問題を使うとよい。