現代的金利デリバティブ価格評価：LIBOR市場モデルとその先へ

引用

Rebonato, R. (2003). Modern pricing of interest-rate derivatives: The LIBOR market model and beyond. Princeton University Press.

章の要約

序論：Introduction

LIBOR市場モデルを用いて多様な金利デリバティブを価格付けする、満足のいく方法を示すという本書の目的を述べる。著者は実装が人によって異なることを認め、自分が好むモデルの版と較正の考え方を説明する。

第I部：The Structure of the LIBOR Market Model

第1–2章：Putting the Modern Pricing Approach in Perspective；The Mathematical and Financial Set-up

金利デリバティブのモデル化の歴史と市場モデルの登場を概観し、無裁定条件とボラティリティ・相関の役割に注目する。第2章はモデルの枠組み、証券市場、プレーン・バニラ商品の評価を示す。

第3–4章：Describing the Dynamics of Forward Rates；Characterizing and Valuing Complex LIBOR Products

現代的な価格付けの方法でのフォワード・レートの動学、同値な記述と一般化（スワップ・レートに基づくモデルを含む）。第4章はモデルが扱える複雑な商品を述べ、多ファクターの世界での価格付けの事例研究を含む。

第5章：Determining the No-Arbitrage Drifts of Forward Rates

無裁定条件が要求するドリフト項を導き、市場に関連する量で表し、近似を論じる。

第II部：The Inputs to the General Framework

第6章：Instantaneous Volatilities

瞬間ボラティリティ関数がなぜ重要か、一般的な結果、具体的な関数形とその金融的な意味。

第7章：Specifying the Instantaneous Correlation Function

一般的な考察、相関に関する実証的な証拠、提案された関数形とその妥当性の議論。

第III部：Calibration of the LIBOR Market Model

第8章：Fitting the Instantaneous Volatility Functions

較正の一般的な考え方と、キャップレット市場およびスワップション行列への当てはめの方法。

第9章：Simultaneous Calibration to Market Caplet Prices and to an Exogenous Correlation Matrix

キャップレット価格に合わせながら、外生的な目標相関行列を回復する手順と、その結果。

第10章：Calibrating a Forward-Rate-Based LIBOR Market Model to Swaption Prices

フォワード・レートとスワップ・レートの動学を併せて記述する必要がある理由、ヨーロピアン・スワップションに関する計算結果と較正の方法。

第IV部：Beyond the Standard Approach: Accounting for Smiles

第11章：Extending the Standard Approach - 1: CEV and Displaced Diffusion

平坦でないボラティリティ・スマイルの実務上・概念上の帰結と、CEVおよびシフト拡散でそれに対応する方法。

第12–13章：Extending the Standard Approach - II: Stochastic Instantaneous Volatilities；A Joint Empirical and Theoretical Analysis of the Stochastic-Volatility LIBOR Market Model

確率ボラティリティへの拡張と、その数値手法と結果。また、モデルが確率的なボラティリティの期間構造をどれだけ再現するかを、実証と理論を合わせて分析する。巻末には文献表と索引がある。

主要概念

第I部

• LIBOR市場モデル：キャップやスワップションの背後にあるフォワードLIBORを状態変数とするモデル。
• 無裁定ドリフト：各フォワード・レートのボラティリティと選んだニュメレールから決まるドリフト。
• 複雑なLIBOR商品：価格付けに多くのフォワード・レートの同時の動学が必要なデリバティブ。

第II部

• 瞬間ボラティリティ関数：各フォワード・レートの時間に依存するボラティリティ。
• 瞬間相関関数：異なる満期のフォワード・レート間の相関。

第III部・第IV部

• 較正：キャップレットとスワップションの価格への当てはめ。同時に当てはめることが金融的に正当かどうかにも注意する。
• インプライド・ボラティリティ・スマイル：行使価格ごとの価格には、平坦なボラティリティ以上のものが必要になる。
• CEVとシフト拡散：スマイルに対応する最初の拡張。
• 確率ボラティリティLIBOR市場モデル：瞬間ボラティリティを確率的にする拡張。

批判的分析

長所

• 市場の両側からの見方。 出版社の紹介によれば、著者は学術と実務の経験を生かし、理論と取引のそれぞれが提供するものを結びつける。本書は数学だけでなく金融上の正当性にも注意を払う。
• 較正の詳しい扱い。 3つの章がキャップレットやスワップションの価格および目標相関行列への当てはめを扱い、紹介文は、複数の観測量に同時に当てはめることが望ましいかという問題と、市場の不完備性への注意を強調している。
• スマイルの持続的な扱い。 第IV部は、確率ボラティリティとシフト拡散を組み合わせた独自の拡張を展開し、計算と実証の両面から検討する。
• 明快な構成。 4つの部は、構造、入力、較正、改良という問題の論理に従う。

短所

• 専門のモノグラフ。 出版社は、定量分析の研究者、洗練されたデリバティブの実務家、金融の学生の必読書だとしており、裁定価格付け、確率解析、標準的な金利モデルへの習熟が前提となる。
• 著者自身の方法を軸にしている。 本書の多くは、著者自身によるモデルの拡張の展開であり、競合する枠組みを中立的に概観したい読者は別の本が必要である。
• 基準金利が古い。 本書は、基準金利としてのLIBORが置き換えられる以前のものなので、LIBORに基づく設定は、一般的なフォワード・レートのモデルとして読むのがよい。

コースにおける位置づけ

資産価格・デリバティブのリストでは、金利デリバティブの専門的なモノグラフで、基礎の後に読む。HullのOptions, Futures, and Other Derivativesは商品と市場の背景を与え、VeronesiのFixed Income SecuritiesとTuckman＆Serratの教科書は、債券、期間構造、スワップを先に扱う。数学については、BjörkのArbitrage Theory in Continuous Time、Bingham＆KieselのRisk-Neutral Valuation、Musiela＆RutkowskiのMartingale Methods in Financial Modellingが先に読むものとして最も有力で、最後の本は市場LIBORモデルにも専用の章を充てている。

GlassermanのMonte Carlo Methods in Financial Engineeringは、LIBOR市場モデルでたいてい必要になるシミュレーションに基づく価格付けを実装するための自然な併読書である。

本書の使い方

期間構造モデルをすでに知っていて、市場モデルがどのように作られ、較正され、拡張されるかを知りたい大学院生、クオンツ、研究者向けである。

読み方としては、序論と第I部を順に読み、入力として第6章と第7章、続いて較正の第III部を読む。第IV部は最も専門的で、最後に読むか、ボラティリティ・スマイルに関心のある読者が選んで読む。標準モデルだけが必要な読者は第III部までで足りる。較正の章を理解するため、ボラティリティと相関のパラメータ化をコードで再現するとよい。