金融モデリングのためのマルチンゲール法

引用

Musiela, M., & Rutkowski, M. (2005). Martingale Methods in Financial Modelling (2nd ed.). Springer. Stochastic Modelling and Applied Probability, vol. 36.

章の要約

第I部：Spot and Futures Markets

第1章：An Introduction to Financial Derivatives

オプション、先物、先渡契約、複製ポートフォリオ、マルチンゲール測度、裁定機会の不在を導入し、全体で使う用語を整える。

第2章：Discrete-time Security Markets

Cox-Ross-Rubinsteinモデル、離散時間の価格のマルチンゲール性、極限としてのBlack-Scholesの公式、離散時間のアメリカン・オプション。後の刷では、最適停止とDynkinゲームの節が章に加わっている。

第3章：Benchmark Models in Continuous Time

Black-Scholesモデルとその関連モデル。配当を支払う株式、BachelierモデルとBlackモデル、Black-Scholesの手法の頑健性、市場の不完全性、数値的手法。

第4章：Foreign Market Derivatives

通貨をまたぐ市場モデル、通貨の先渡契約とオプション、外国株式の先渡とオプション、外国市場の先物。

第5章：American Options

アメリカン型請求権の評価、アメリカン・コールとプット、早期行使の表現、解析的手法と近似（配当を支払う株式のオプションを含む）。

第6章：Exotic Options

エキゾチック・オプションの分類と価格付けの方法。パッケージ、フォワード・スタート、チューザー、コンパウンド、デジタル、バリア、ルックバック、アジアン、バスケット、分位点オプション。

第7章：Volatility Risk

第2版で新しく加わった章。インプライド・ボラティリティとヒストリカル・ボラティリティ、ベガ・ヘッジ、Black-Scholesモデルの拡張、ローカル・ボラティリティと確率ボラティリティのモデル、ボラティリティ・サーフェスの動学を扱う。

第8章：Continuous-time Security Markets

一般の標準的な市場モデル、多次元のBlack-Scholesモデル、分散最小化とリスク最小化のヘッジ、市場の不完全性。

第II部：Fixed-income Markets

第9章：Interest Rates and Related Contracts

ゼロクーポン債と利付債、金利先物、スワップ、金利先渡契約、債券価格の確率モデル。

第10–11章：Short-Term Rate Models；Models of Instantaneous Forward Rates

1ファクターと多ファクターの短期金利モデル、拡張CIRモデルと債券オプション。続いてHeath-Jarrow-Morton法、ガウス型HJMモデル、ヨーロピアン・スポット・オプション、ボラティリティと相関の特定。

第12–13章：Market LIBOR Models；Alternative Market Models

フォワードLIBORと先物LIBOR、キャップとフロア、LIBOR市場モデルとガウス型HJMモデルでの評価。続いてスワップションのためのスワップ・モデル（共終了、共開始、共スライドのフォワード・スワップ・レート）とMarkov関数モデル。

第14章：Cross-currency Derivatives

無裁定の通貨間市場、ガウス型モデル、通貨間のフォワードLIBORレートのモデル。

付録

伊藤の確率解析の参考用の要約。条件付き期待値、フィルトレーション、マルチンゲール、ブラウン運動、停止時刻、確率積分、セミマルチンゲール、伊藤の補題、Girsanovの定理。

主要概念

第I部：現物・先物市場

• マルチンゲール測度と裁定の不在：無裁定価格と、同値な確率の下での期待値との関係。
• Cox-Ross-RubinsteinモデルとBlack-Scholesモデル：離散時間と連続時間の基準モデル。
• ボラティリティ・リスク、ローカルおよび確率ボラティリティ：観測されるオプション価格に合わせて基準モデルを拡張する方法。
• 不完備市場でのヘッジ：請求権を複製できない場合の分散最小化とリスク最小化の戦略。

第II部：債券市場

• Heath-Jarrow-Morton法：フォワード・カーブ全体のモデル化。
• LIBOR市場モデルとスワップ市場モデル：キャップ、フロア、スワップションの背後にある相場の金利を入力とするモデル。
• 通貨間デリバティブ：複数通貨の金利の無裁定モデル化。

批判的分析

長所

• 統一された方法。 同じマルチンゲールの方法が、株式、通貨、エキゾチック、金利、通貨間の商品を貫き、多くの契約の背後に一つの理論があることがわかる。
• 広さと深さ。 600ページを超え14章からなり、エキゾチック・オプションの分類、ボラティリティ・サーフェス、Markov関数モデル、通貨間LIBORモデルなど、一か所にまとまることの少ない話題を含む。
• 確率解析の参照用付録。 付録に本書で使う伊藤解析の結果がまとめられ、見慣れない段階を確認しやすい。
• 改訂された第2版。 Springerの紹介文と序文によれば、第I部の一部の節は読みやすさのために省かれ、第II部は大幅に改訂され、ボラティリティ・リスクの新しい章が加わった。

短所

• 前提が重い。 フィルトレーション、マルチンゲール、確率積分の言葉で書かれており、測度論的な確率を扱えることが前提となる。
• 長く密度が高い。 通読よりも、参考書として、または選んだ授業の素材として向く。
• 版による違い。 ここで述べる章構成は第2版のものである。第1版は構成が異なり、第2版の後の刷ではいくつかの節が加わっている。

コースにおける位置づけ

資産価格・デリバティブのリストでは、百科事典的な数学の参考書にあたる。Lamberton＆LapeyreのIntroduction to Stochastic Calculus Applied to Financeははるかに短く、話の前半を通る。BjörkのArbitrage Theory in Continuous TimeとBingham＆KieselのRisk-Neutral Valuationは、中程度の長さの同様に厳密な教科書である。RebonatoのModern Pricing of Interest-Rate Derivativesは、Musiela＆Rutkowskiが1章で扱うLIBOR市場モデルを、較正に重点を置いて展開する。

実務の背景としては、まずHullのOptions, Futures, and Other Derivativesで商品と市場慣行を学ぶのがよい。Glassermanのモンテカルロ法の本は、価格付けのための数値手法を提供する。

本書の使い方

確率と確率解析をすでに知っている数理ファイナンスの大学院生や研究者、モデルの導出を調べる必要のあるクオンツ向けである。

順番に通読しないこと。株式デリバティブの授業には第1章から第3章を使い、必要に応じて第5章から第7章を読む。第4章は通貨商品向け。金利については、第3章または第8章のあとに第II部へ進み、第9章から第12章を中核、第13章と第14章を拡張とする。確率解析の結果のために付録を手元に置く。導出は手で追い、各モデルを第3章のBlack-Scholesの基準と比べるとよい。