Fundamental Methods of Mathematical Economics（数理経済学の基礎的方法）

引用

Chiang, A. C., & Wainwright, K. (2005). Fundamental Methods of Mathematical Economics (4th ed.). McGraw-Hill.

章の要約

本書は5部20章からなり、約700ページに及ぶ。McGraw-Hillの紹介によれば、本版は前版から20年を経て刊行された。長年この教科書を使ってきたKevin Wainwrightが例、応用、理論を更新し、Alpha Chiangの叙述スタイルは保たれている。第13章と第20章が新章とされている。

第1〜2章：数理経済学の性質、経済モデル

第1部「序論」は前提を整える。数理経済学とは何か、経済モデルとは何かを述べる。どちらの章も、技法を学ぶ前に置かれている。

第3章：経済学における均衡分析

第2部「静学（または均衡）分析」は、経済学における均衡分析の章から始まる。均衡は、後続の各部が拠り所とする基本的な分析上の考え方である。

第4〜5章：線形モデルと行列代数

2つの章が、線形モデルとそれを扱うための行列代数を取り上げる。後の章は前の章の続きと明記されている。題名から、行列が前提知識として仮定されるのではなく、本書の中で教えられることがわかる。

第6〜8章：比較静学と導関数の概念、微分の法則と比較静学での利用、一般関数モデルの比較静学分析

第3部「比較静学分析」は、比較静学と導関数の概念をあわせて扱い、続いて微分の法則とその比較静学での利用を述べ、最後に一般的な関数で表されたモデルに比較静学を適用する。

第9〜13章：最適化：均衡分析の特殊な一種、指数関数と対数関数、選択変数が複数の場合、等式制約のもとでの最適化、最適化のさらなるトピック

第4部「最適化問題」は、最適化を均衡分析の特殊な場合として扱う。選択変数が1つの場合から複数の場合へ進み、指数関数と対数関数の章を加え、等式制約のもとでの最適化を取り上げ、最後に本版で新設された、包絡線定理と双対性を含む章で終わる。

第14〜20章：経済分析と積分、連続時間：1階微分方程式、高階微分方程式、離散時間：1階差分方程式、高階差分方程式、連立微分方程式・差分方程式、最適制御理論入門

第5部「動学分析」は積分から始まり、連続時間モデルを微分方程式で、離散時間モデルを差分方程式で扱う。それぞれ1階から高階へと進み、連立の体系で両者が結びつけられる。最終章は本版で新設された最適制御理論の入門である。

主要概念

第1部・第2部：序論と静学分析（第1〜5章）

• 経済モデル：ある経済状況を簡略化して数学的に表したもの。
• 均衡分析：モデルが釣り合う状態にある各変数の値を求めること。
• 行列代数：連立一次方程式を扱うための記法と演算。

第3部：比較静学分析（第6〜8章）

• 比較静学：異なる均衡を比べ、外生的なパラメータの変化に均衡がどう反応するかを見ること。
• 導関数：変化率を測る道具で、そうした反応を表すために用いられる。
• 一般関数モデル：特定の関数形ではなく、一般的な関数形で表されたモデル。

第4部：最適化問題（第9〜13章）

• 最適化：1つまたは複数の変数の値を選び、目的をできるだけ大きく、あるいは小さくすること。
• 等式制約：選択変数が厳密に満たさなければならない条件。
• 包絡線定理と双対性：最適値がパラメータにどう反応するか、また問題の対になった定式化に関する結果で、本版で新設された章に含まれる。

第5部：動学分析（第14〜20章）

• 微分方程式：連続時間での変化を記述する方程式。
• 差分方程式：ある離散的な期間から次の期間への変化を記述する方程式。
• 最適制御理論：目的を最適にする時間経路を選ぶこと。最終章で入門的に扱われる。

批判的分析

長所

• 経済学者の数学の使い方に沿った進み方。 5つの部は、均衡から比較静学、最適化、そして動学へと進む。部の題名は数学上の項目だけでなく、経済分析の種類（静学、比較静学、最適化、動学）を示しており、各技法がどのような用途と結びついているかがわかる。
• 道具が本書の中で教えられる。 行列代数は第4章から、導関数の概念は第6章から始まるため、他の科目をすべて修了していることに全面的には依存しない。
• 動学の範囲が広い。 連続時間と離散時間のそれぞれに1階と高階の章があり、続いて連立の体系と、最後に最適制御の入門が置かれている。
• 意図をもった改訂版。 出版社は例、応用、理論が更新されたと述べており、目次にも2つの新章、すなわち最適化のさらなるトピックと最適制御の章が示され、本書の範囲は比較静学から双対性と最適制御にまで広がっている。

短所

• 版が古い。 最新版は2005年のもので、前版から20年の間隔があった。例や応用にはその時期の特徴が表れている。
• 最適制御は入門にとどまる。 最終章の題名自体が入門であり、動学的最適化を深く学びたい読者は、より専門的な教科書が必要になる。
• 方法の本である。 各章は経済学の主題ではなく数学の技法ごとに組織されているため、経済学の授業の補助となるもので、代わりになるものではない。

コースにおける位置づけ

この書目のなかで、Chiang と Wainwright は穏やかな入門書と専門的な論述書の中間に位置する。前者より体系的で、後者より範囲が広い。Lis と Rosser の Basic Mathematics for Economists は、学校数学が限られている、あるいは忘れかけている学生を対象に、算数と代数をつくり直してから微積分と最適化を導入するので、第3章以降に進む準備がまだ整っていない読者に向く。Sydsæter、Hammond、Strøm、Carvajal の Essential Mathematics for Economic Analysis は、初等代数から1変数・多変数の微積分、最適化、基礎的な線形代数までを、多くの例題とともに扱う。第2〜4部と重なる部分があり、並行して使う、あるいは代わりに用いることができる。Ian Jacques の Mathematics for Economics and Business は、経済学・経営学の学生向けのもう1冊の一般的な数学の教科書である。

Brock と Malliaris の Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics は、安定性、最適制御、非線形ダイナミクス、カオスを扱う、厳密な大学院水準の論述とされている。動学をより深く学びたい読者にとって、Chiang と Wainwright の第5部の次に進む本として自然である。

本書の使い方

本書は、中級以降の科目で使われる数学、すなわち比較静学、制約付き最適化、基礎的な動学を必要とする経済学の学生に向いている。前提は、学校水準の代数、微積分入門に少し触れた経験、そして経済学原理水準の科目である。行列も導関数もゼロから導入されるため、意欲のある読者にとっては、最初の体系的な数学の授業としても使える。

実際的な進め方は次のとおりである。

• 中核： 第1〜3章、続いて第6〜8章の導関数と比較静学、そして選択変数が1つの場合、複数の場合、等式制約のもとでの最適化の各章（第9、11、12章）。時間が限られるなら、これらを優先する。
• 必要に応じて： 線形代数を学んでいなければ第4・5章の行列、指数関数と対数関数になじみがなければ第10章、上級のミクロ経済理論で必要になる包絡線定理と双対性の結果なら第13章。
• 動学： 第14・15・17章は基本的な動学の道具、つまり積分、1階微分方程式、1階差分方程式を与える。第16・18・19章はそれらの拡張で、第20章は動学的マクロ経済学や大学院での学習に進む読者のための入門である。

章を進めながら自分の手で問題を解き、各技法を何らかの経済モデルに当てはめて確かめるとよい。本書は数学をモデルに応用することを軸に組み立てられているからである。部の題名は道しるべとして読める。授業が静学分析と最適化だけを扱うなら、第5部は後回しにしてよい。