數值分析

引用

Burden, R. L., Faires, J. D., & Burden, A. M. (2016). Numerical Analysis (10th ed.). Cengage Learning.

章節概要

第十版約900頁（圖書館記錄為896頁），是2011年版的後繼版本。Cengage 介紹說，這是一本為修讀一到兩學期數值分析課程的學生介紹現代數值逼近技術的理論與應用的教材，先修要求是微積分；作者解釋逼近技術在什麼時候、為什麼、如何能夠奏效，以及在某些情形下為什麼會失效。下面的章節標題依據前一版（第九版）的圖書館目錄記錄，該記錄列出十二章；第十版的介紹涵蓋相同的範圍。這裡只列到章一級。

第1–3章：Mathematical Preliminaries and Error Analysis（數學預備知識與誤差分析）；Solutions of Equations in One Variable（一元方程的求解）；Interpolation and Polynomial Approximation（內插與多項式逼近）

全書從後面一切內容的背景開始，其中包括誤差分析，然後轉向一元方程的求解，以及內插與多項式逼近。這三章是後面數值方法的基礎。

第4–5章：Numerical Differentiation and Integration（數值微分與積分）；Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations（常微分方程的初值問題）

第4章涵蓋數值微分與積分，第5章涵蓋常微分方程初值問題的方法。

第6–7章：Direct Methods for Solving Linear Systems（線性方程組的直接解法）；Iterative Techniques in Matrix Algebra（矩陣代數中的疊代技術）

數值線性代數部分先討論線性方程組的直接解法，再討論疊代技術。

第8–10章：Approximation Theory（逼近論）；Approximating Eigenvalues（特徵值的近似計算）；Numerical Solutions of Nonlinear Systems of Equations（非線性方程組的數值解）

第8章是逼近論，第9章是特徵值的近似計算，第10章是非線性方程組，把第2章的一元方程求解推廣到多個未知數。

第11–12章：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations（常微分方程的邊值問題）；Numerical Solutions to Partial Differential Equations（偏微分方程的數值解）

最後兩章討論常微分方程的邊值問題和偏微分方程的數值解。

核心概念

第1–5章：預備知識、方程、逼近與積分

• 誤差分析：第1章標題中作為預備知識一部分點出。
• 內插與多項式逼近：第3章的主題。
• 數值微分與積分：第4章的主題。
• 初值問題：第5章中常微分方程的數值解法。

第6–12章：線性代數、進一步的逼近與微分方程

• 線性方程組的直接法與疊代法：第6章和第7章。
• 逼近論與特徵值的近似：第8章和第9章。
• 非線性方程組：第10章。
• 邊值問題與偏微分方程：第11章和第12章。

評析

優點

• 入門門檻低。 出版社稱其講法易懂，只要求微積分基礎，因此還沒學過實分析的學生也能讀。
• 既關注成功，也關注失敗。 Cengage 說，作者解釋逼近技術何時能夠奏效，以及在某些情形下為什麼會失效，而這正是數值分析與照方抓藥的分界。
• 例題與習題。 介紹強調書中有豐富的例題和習題，用來培養直覺，並展示在數學、計算、工程和物理科學中的實際應用。
• 覆蓋面廣，歷史悠久。 十二章從誤差分析、線性代數、常微分方程一直到偏微分方程，而且自三十多年前最初寫成以來多次修訂；第十版是2011年版的後繼。

侷限

• 線性代數靠後。 線性方程組的直接解法要到第6章纔開始，排在第5章的初值問題之後，因此想早點學線性方程組的課程需要調整章節順序。
• 內容多於一門課。 近900頁、十二章，書中的內容多於一到兩個學期的課程所能用的，教師和自學者必須取捨。
• 公開的細節有限。 可獲得的資料只有章節標題和簡短的出版社介紹，因此要依靠本書學習某個具體方法的人，應當覈對所用版本的小節級目錄。

在課程中的定位

Burden、Faires 和 Burden 是本課程書單中兩本本科教材裡較溫和、範圍也更廣的一本。Süli 和 Mayers 的《An Introduction to Numerical Analysis》基於牛津的講課，處理得更嚴格，面向有分析學基礎的數學專業二年級學生，強調收斂性和誤差界的證明；對想知道演算法為何有效的學生來說，它是自然的第二本書。Moler 的《Numerical Computing with MATLAB》和 Kong、Siauw、Bayen 的《Python Programming and Numerical Methods》是先學程式設計的入門書，與 Burden 所涵蓋的同一批方法搭配很合適。Trefethen 和 Bau 的《Numerical Linear Algebra》以及 Stoer 和 Bulirsch 的《Introduction to Numerical Analysis》是研究生水平的下一步：前者深入講數值線性代數，後者是一部全面的論著。

如何使用本書

本書面向已修完微積分系列課程、想學習數值方法及其誤差行為的數學、電腦科學、工程和物理科學專業學生。

實用的學習安排如下：

• 核心（第1–5章）： 按順序閱讀。這些章節帶學生從誤差分析出發，經過方程求解、內插、積分和微分，到初值問題，可以作為一學期課程的合理主線。
• 線性代數（第6–7章、第9章）： 線性方程組的直接法與疊代法，以及特徵值的近似，適合第二學期，或以數值線性代數為目標的學生。講非線性方程組的第10章是第2章和第6章之後自然的延續。
• 進階（第8章、第11–12章）： 逼近論、邊值問題和偏微分方程，適合兩學期課程的後半部分。

請用電腦做習題，因為數值分析要靠實際運行並比較各種方法來學習。由於線性方程組排在微分方程之後，想早點講的課程可以在第3章之後立即學第6–7章。