数値解析

引用

Burden, R. L., Faires, J. D., & Burden, A. M. (2016). Numerical Analysis (10th ed.). Cengage Learning.

章の要約

第10版は約900ページ（図書館の記録では896ページ）で、2011年の版を引き継いでいます。Cengage は本書を、1学期または2学期の数値解析の課程を取る学生のために、現代の数値的近似法の理論と応用を紹介する教科書と説明しており、前提は微積分です。著者らは、近似の手法がいつ、なぜ、どのように機能すると期待できるか、そしていくつかの状況ではなぜ機能しないかを説明します。以下の章タイトルは前の版（第9版）の図書館目録の記録に従っており、12章が挙げられています。第10版の紹介文も同じ範囲を扱っています。章レベルでのみ挙げています。

第1–3章：Mathematical Preliminaries and Error Analysis（数学的準備と誤差解析）／Solutions of Equations in One Variable（1変数方程式の解法）／Interpolation and Polynomial Approximation（補間と多項式近似）

本書は、誤差解析を含む、以降のすべての土台となる背景から始まり、続いて1変数方程式の解法、補間と多項式近似に進みます。これら3章は、後の数値的手法の基礎です。

第4–5章：Numerical Differentiation and Integration（数値微分と数値積分）／Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations（常微分方程式の初期値問題）

第4章は数値微分と数値積分を、第5章は常微分方程式の初期値問題の解法を扱います。

第6–7章：Direct Methods for Solving Linear Systems（連立一次方程式の直接法）／Iterative Techniques in Matrix Algebra（行列代数における反復法）

数値線形代数のブロックでは、連立一次方程式の直接法を扱い、続いて反復法を扱います。

第8–10章：Approximation Theory（近似理論）／Approximating Eigenvalues（固有値の近似）／Numerical Solutions of Nonlinear Systems of Equations（連立非線形方程式の数値解法）

第8章は近似理論、第9章は固有値の近似、第10章は連立非線形方程式を扱い、第2章の1変数方程式の解法を複数の未知数へ広げます。

第11–12章：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations（常微分方程式の境界値問題）／Numerical Solutions to Partial Differential Equations（偏微分方程式の数値解法）

最後の2章は、常微分方程式の境界値問題と、偏微分方程式の数値解法を扱います。

主要概念

第1–5章：準備、方程式、近似、積分

• 誤差解析：第1章のタイトルに、準備の一部として挙げられています。
• 補間と多項式近似：第3章の主題。
• 数値微分と数値積分：第4章の主題。
• 初期値問題：第5章の、常微分方程式の数値解法。

第6–12章：線形代数、さらなる近似、微分方程式

• 連立一次方程式の直接法と反復法：第6章と第7章。
• 近似理論と固有値の近似：第8章と第9章。
• 非線形連立方程式：第10章。
• 境界値問題と偏微分方程式：第11章と第12章。

批判的分析

長所

• 入り口が低い。 出版社は、扱いがわかりやすく、前提は微積分だけだと述べており、まだ実解析を学んでいない学生にも手が届きます。
• 成功だけでなく失敗にも注意が向けられている。 Cengage は、著者らが近似法がいつ機能すると期待でき、いくつかの状況でなぜ失敗するかを説明していると述べています。ここが、数値解析がレシピの実行と分かれるところです。
• 例題と演習。 紹介文は、直観を養い、数学、計算、工学、物理科学での実用的な応用を示す、豊富な例題と演習を強調しています。
• 幅広い範囲と長い歴史。 12章は、誤差解析から線形代数、常微分方程式を経て偏微分方程式まで及び、30年以上前に最初に書かれて以来、何度も改訂されてきました。第10版は2011年の版を引き継いでいます。

短所

• 線形代数が後ろにある。 連立一次方程式の直接法は第6章まで始まらず、第5章の初期値問題の後になるので、線形方程式系を早く扱いたい課程は、章の順序を入れ替える必要があります。
• 1つの課程で使い切れない分量。 900ページ近く、12章あるため、本書には1～2学期の課程で使える以上の内容が含まれており、教員や独習者が選ぶ必要があります。
• 公開されている詳細が限られている。 入手できる情報は章タイトルと短い出版社の紹介文だけなので、特定の手法を本書に頼る人は、使う版の節レベルの目次を確認すべきです。

コースにおける位置づけ

Burden、Faires、Burden は、このコース一覧にある2冊の学部向け教科書のうち、やさしく、より広い範囲を扱うほうです。Süli と Mayers の『An Introduction to Numerical Analysis』は、オックスフォードでの講義に基づく、より厳密な扱いで、解析学の基礎をもつ数学専攻の2年次を対象とし、収束と誤差の限界の証明を重視します。アルゴリズムがなぜ機能するかを知りたい学生にとって、自然な2冊目です。Moler の『Numerical Computing with MATLAB』と Kong、Siauw、Bayen の『Python Programming and Numerical Methods』は、プログラミングを先に学ぶ入門書で、Burden が扱う同じ手法と組み合わせるのに向いています。Trefethen と Bau の『Numerical Linear Algebra』と Stoer と Bulirsch の『Introduction to Numerical Analysis』は大学院レベルの次の一歩で、前者は数値線形代数の深い扱い、後者は包括的な概説書です。

本書の使い方

本書は、微積分の課程を終え、数値的手法とその誤差の振る舞いの最初の課程を学びたい、数学、コンピュータ科学、工学、物理科学の学生を対象としています。

実際の進め方は次のとおりです。

• 中核（第1–5章）： 順に読みます。これらの章は、誤差解析から、方程式の解法、補間、積分と微分を経て、初期値問題まで学生を導き、1学期の課程の背骨として妥当です。
• 線形代数（第6–7章、第9章）： 連立一次方程式の直接法と反復法、固有値の近似で、2学期目、または数値線形代数を目標とする学生に向いています。非線形連立方程式を扱う第10章は、第2章と第6章に続く自然な発展です。
• 発展（第8章、第11–12章）： 近似理論、境界値問題、偏微分方程式で、2学期の課程の後半に向いています。

演習はコンピュータで解いてください。数値解析は、手法を実際に動かして比べることで学べます。連立一次方程式は微分方程式の後に出てくるので、早く扱いたい課程は、第3章の直後に第6–7章を読むこともできます。