数值分析

引用

Burden, R. L., Faires, J. D., & Burden, A. M. (2016). Numerical Analysis (10th ed.). Cengage Learning.

章节概要

第十版约900页（图书馆记录为896页），是2011年版的后继版本。Cengage 介绍说，这是一本为修读一到两学期数值分析课程的学生介绍现代数值逼近技术的理论与应用的教材，先修要求是微积分；作者解释逼近技术在什么时候、为什么、如何能够奏效，以及在某些情形下为什么会失效。下面的章节标题依据前一版（第九版）的图书馆目录记录，该记录列出十二章；第十版的介绍涵盖相同的范围。这里只列到章一级。

第1–3章：Mathematical Preliminaries and Error Analysis（数学预备知识与误差分析）；Solutions of Equations in One Variable（一元方程的求解）；Interpolation and Polynomial Approximation（插值与多项式逼近）

全书从后面一切内容的背景开始，其中包括误差分析，然后转向一元方程的求解，以及插值与多项式逼近。这三章是后面数值方法的基础。

第4–5章：Numerical Differentiation and Integration（数值微分与积分）；Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations（常微分方程的初值问题）

第4章涵盖数值微分与积分，第5章涵盖常微分方程初值问题的方法。

第6–7章：Direct Methods for Solving Linear Systems（线性方程组的直接解法）；Iterative Techniques in Matrix Algebra（矩阵代数中的迭代技术）

数值线性代数部分先讨论线性方程组的直接解法，再讨论迭代技术。

第8–10章：Approximation Theory（逼近论）；Approximating Eigenvalues（特征值的近似计算）；Numerical Solutions of Nonlinear Systems of Equations（非线性方程组的数值解）

第8章是逼近论，第9章是特征值的近似计算，第10章是非线性方程组，把第2章的一元方程求解推广到多个未知数。

第11–12章：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations（常微分方程的边值问题）；Numerical Solutions to Partial Differential Equations（偏微分方程的数值解）

最后两章讨论常微分方程的边值问题和偏微分方程的数值解。

核心概念

第1–5章：预备知识、方程、逼近与积分

• 误差分析：第1章标题中作为预备知识一部分点出。
• 插值与多项式逼近：第3章的主题。
• 数值微分与积分：第4章的主题。
• 初值问题：第5章中常微分方程的数值解法。

第6–12章：线性代数、进一步的逼近与微分方程

• 线性方程组的直接法与迭代法：第6章和第7章。
• 逼近论与特征值的近似：第8章和第9章。
• 非线性方程组：第10章。
• 边值问题与偏微分方程：第11章和第12章。

评析

优点

• 入门门槛低。 出版社称其讲法易懂，只要求微积分基础，因此还没学过实分析的学生也能读。
• 既关注成功，也关注失败。 Cengage 说，作者解释逼近技术何时能够奏效，以及在某些情形下为什么会失效，而这正是数值分析与照方抓药的分界。
• 例题与习题。 介绍强调书中有丰富的例题和习题，用来培养直觉，并展示在数学、计算、工程和物理科学中的实际应用。
• 覆盖面广，历史悠久。 十二章从误差分析、线性代数、常微分方程一直到偏微分方程，而且自三十多年前最初写成以来多次修订；第十版是2011年版的后继。

局限

• 线性代数靠后。 线性方程组的直接解法要到第6章才开始，排在第5章的初值问题之后，因此想早点学线性方程组的课程需要调整章节顺序。
• 内容多于一门课。 近900页、十二章，书中的内容多于一到两个学期的课程所能用的，教师和自学者必须取舍。
• 公开的细节有限。 可获得的资料只有章节标题和简短的出版社介绍，因此要依靠本书学习某个具体方法的人，应当核对所用版本的小节级目录。

在课程中的定位

Burden、Faires 和 Burden 是本课程书单中两本本科教材里较温和、范围也更广的一本。Süli 和 Mayers 的《An Introduction to Numerical Analysis》基于牛津的讲课，处理得更严格，面向有分析学基础的数学专业二年级学生，强调收敛性和误差界的证明；对想知道算法为何有效的学生来说，它是自然的第二本书。Moler 的《Numerical Computing with MATLAB》和 Kong、Siauw、Bayen 的《Python Programming and Numerical Methods》是先学编程的入门书，与 Burden 所涵盖的同一批方法搭配很合适。Trefethen 和 Bau 的《Numerical Linear Algebra》以及 Stoer 和 Bulirsch 的《Introduction to Numerical Analysis》是研究生水平的下一步：前者深入讲数值线性代数，后者是一部全面的论著。

如何使用本书

本书面向已修完微积分系列课程、想学习数值方法及其误差行为的数学、计算机科学、工程和物理科学专业学生。

实用的学习安排如下：

• 核心（第1–5章）： 按顺序阅读。这些章节带学生从误差分析出发，经过方程求解、插值、积分和微分，到初值问题，可以作为一学期课程的合理主线。
• 线性代数（第6–7章、第9章）： 线性方程组的直接法与迭代法，以及特征值的近似，适合第二学期，或以数值线性代数为目标的学生。讲非线性方程组的第10章是第2章和第6章之后自然的延续。
• 进阶（第8章、第11–12章）： 逼近论、边值问题和偏微分方程，适合两学期课程的后半部分。

请用计算机做习题，因为数值分析要靠实际运行并比较各种方法来学习。由于线性方程组排在微分方程之后，想早点讲的课程可以在第3章之后立即学第6–7章。