An Introduction to Numerical Analysis（數值分析導論）

引用

Süli, E., & Mayers, D. F. (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press.

章節概要

全書共十四章和兩個簡短的附錄，444頁。在前言中，作者說明本書源自多年來在牛津為本科數學專業學生講課所用的印刷講義，範圍比目前講授的內容更廣，面向大學數學課程二年級的學生。第2章討論線性方程組，它可以在有限次算術運算內求解；前言說，在本書的其餘部分，問題的解被看作無窮序列的極限，因此演算法的輸出是近似解。劍橋的介紹把所涉及的問題列為函數與積分的逼近，以及代數方程、超越方程、微分方程和積分方程的近似求解，並在全書中關注穩定性、精度、可靠性和效率。

第1章：Solution of Equations by Iteration（用疊代法解方程）

共38頁，是較長的章節之一。與前言把解看作序列極限的說法一致，本書以方程的疊代求解開篇。

第2–3章：Solution of Systems of Linear Equations（線性方程組的求解）；Special Matrices（特殊矩陣）

第2章（48頁）處理線性方程組，這是前言指出的唯一能在有限次運算內精確求解的問題。第3章是一個關於特殊矩陣的短章。

第4–5章：Simultaneous Nonlinear Equations（聯立非線性方程）；Eigenvalues and Eigenvectors of a Symmetric Matrix（對稱矩陣的特徵值與特徵向量）

第4章把方程求解推廣到聯立非線性方程。第5章共46頁，是最長的幾章之一，轉向對稱矩陣的特徵值問題。

第6–8章：Polynomial Interpolation（多項式內插）；Numerical Integration – I（數值積分 I）；Polynomial Approximation in the ∞-Norm（∞範數下的多項式逼近）

第6章引入多項式內插。第7章是關於數值積分的兩章中的第一章。第8章研究連續函數在∞範數下的最佳多項式逼近。

第9–11章：Approximation in the 2-Norm（2範數下的逼近）；Numerical Integration – II（數值積分 II）；Piecewise Polynomial Approximation（分段多項式逼近）

第9章從範數的選擇會改變最佳逼近這一觀察出發，因此2範數下的最佳逼近必須單獨發展；它與正交性相聯繫，所以從回顧內積空間開始。第10章是數值積分的第二章。第11章把之前的全局構造（其引言提到拉格朗日內插、埃爾米特內插以及兩種範數下的最佳逼近）與用低次多項式作分段逼近相對比：n次樣條，以子區間的端點為節點（knot），並具有規定的光滑性。

第12–14章：Initial Value Problems for ODEs（常微分方程初值問題）；Boundary Value Problems for ODEs（常微分方程邊值問題）；The Finite Element Method（有限元法）

最後三章轉向微分方程。第12章（最長，共51頁）處理初值問題，第13章處理邊值問題，第14章以有限元法收尾。

附錄

附錄A是對實分析結果的四頁概述；附錄B是一頁的全球資訊網資源列表。其後是參考文獻和索引。

核心概念

第1–5章：方程與矩陣

• 疊代求解：第1章處理方程的方法，解是序列的極限。
• 穩定性、精度、可靠性與效率：前言和出版社介紹突出強調的數值演算法的四個品質。
• 對稱矩陣的特徵值問題：第5章的主題。

第6–11章：內插、逼近與積分

• 內插與最佳逼近：拉格朗日內插與埃爾米特內插，以及∞範數和2範數下的最佳逼近。
• 內積空間與正交性：第9章開頭回顧的框架。
• 樣條與節點：第11章的分段多項式逼近。

第12–14章：微分方程

• 初值問題與邊值問題：第12章和第13章。
• 有限元法：最後一章。

評析

優點

• 因兼具嚴格性與可讀性而受到稱讚。 Eugene Allgower 寫道，本書「對目標讀者而言有恰當的嚴格程度」；《Zentralblatt MATH》的書評稱它是一本很好的教科書，「寫得非常認真」，可推薦給數學專業二、三年級學生，並說作者對入門主題的選擇很得當。兩則書評都被出版社頁面引用。
• 源自課堂。 《Internationale Mathematische Nachrichten》的書評認為，本書之所以能回答學生常問的問題，是因為它來自多年的牛津講課；《Mathematics Today》稱它易讀、行文流暢。
• 有動機鋪墊的逼近處理。 第9章開頭透過說明最佳逼近取決於範數，解釋了為什麼2範數需要單獨的理論；第11章則把分段多項式與第6–9章的全局方法相對照，因此每一種新工具的引入都有理由。
• 通向現代方法的路徑。 從內插和逼近到微分方程的順序，以有限元法結束。《Zentralblatt MATH》的書評還補充說，本書有許多關於數學家的歷史性引述。

侷限

• 需要分析學基礎。 Allgower 說本書適合「帶着一些分析學背景」的學生，而概述實分析結果的附錄A只有四頁。
• 很少涉及實現。 目錄中沒有關於程式設計或軟體的章節，附錄B只是2003年出版的書中的一頁網路資源。想把演算法寫成程式碼的學生需要配套教材或課程。
• 範圍比某些課程教材窄。 沒有以偏微分方程命名的章節；有限元法是最後一章。

在課程中的定位

這是數值分析書單中數學上最嚴格的本科選擇。Burden、Faires 和 Burden 的《Numerical Analysis》是只需微積分基礎的本科入門書，十二章的範圍更廣，包括數值微分和偏微分方程；它適合作為較溫和的第一本書，而 Süli 和 Mayers 則是想了解收斂性和誤差界證明的學生自然的第二遍讀物。Moler 的《Numerical Computing with MATLAB》和 Kong、Siauw、Bayen 的《Python Programming and Numerical Methods》是先學程式設計的入門書，與這裡的理論配合很好。Trefethen 和 Bau 的《Numerical Linear Algebra》以及 Stoer 和 Bulirsch 的《Introduction to Numerical Analysis》是研究生水平的下一步：前者深入講線性代數，後者是一部全面的論著。

如何使用本書

本書面向有實分析和線性代數基礎的數學專業二年級學生，適合想弄清數值演算法為什麼有效、而不僅僅是怎麼運行的讀者。

實用的學習安排如下：

• 核心（第1–2章、第6–7章、第12章）： 方程的疊代解法、線性方程組、內插、數值積分的第一章，以及常微分方程初值問題，構成一門緊湊的入門課程。
• 線性代數與非線性方程組（第3–5章）： 時間允許時學習；講對稱矩陣特徵值問題的第5章是這三章中最長的。
• 逼近理論（第8–11章）： 關於最佳逼近、積分和樣條的第二個板塊，適合想了解第6–7章背後理論的讀者。
• 進階（第13–14章）： 邊值問題和有限元法適合第二學期或自學。

開始之前請先複習附錄A，併為每種方法配上程式設計練習，親眼看看書中討論的穩定性和精度問題。