Introduction to Numerical Analysis（數值分析導論）

引用

Stoer, J., & Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.; R. Bartels, W. Gautschi & C. Witzgall, Trans.). Springer. Texts in Applied Mathematics, vol. 12.

章節概要

第三版約740頁，共八章，其後是參考文獻、數值方法通用文獻目錄和索引。它譯自作者的德文教材，英文版首次出版於1980年。各章遵循數值分析課程通常的脈絡：從誤差的算術出發，經過逼近與積分、數值線性代數的兩大分支，再到零點與極小化，最後是微分方程。各章的篇幅顯示了重點所在：常微分方程（154頁）、大型線性方程組的迭代方法（111頁）、插值（108頁）和特徵值問題（101頁）篇幅最大。

第1章：Error Analysis（誤差分析）

第一章（36頁）討論在有限精度算術中做數值計算時產生的誤差，以及它們如何在演算法中傳播。它確立了後續各章使用的誤差與穩定性的詞彙。

第2章：Interpolation（插值）

108頁，是前四章中最長的一章。討論如何構造與給定資料吻合的函式。

第3章：Topics in Integration（積分專題）

較短的一章（45頁），講數值積分，即由函式值計算定積分。

第4章：Systems of Linear Equations（線性方程組）

線性方程組的數值解，約一百頁。它與第6、8章一起構成關於矩陣問題的三章中的第一章。

第5章：Finding Zeros and Minimum Points by Iterative Methods（用迭代法求零點與極小點）

用迭代法求非線性方程的零點和多元函式的極小點。Acta Scientiarum Mathematicarum 的一位評論者特別指出，書中對最重要的極小化方法討論得很透徹。

第6章：Eigenvalue Problems（特徵值問題）

計算矩陣特徵值和特徵向量的方法，約佔一百頁。

第7章：Ordinary Differential Equations（常微分方程）

常微分方程的數值解。同一位評論者把剛性或隱式微分方程以及微分—代數方程組的求解列為本書的亮點。

第8章：Iterative Methods for the Solution of Large Systems of Linear Equations. Additional Methods（大型線性方程組的迭代解法及其他方法）

在直接方法不再實用時，用於大型線性方程組的迭代求解方法。同一位評論者把多重網格方法的基礎列為本書的特色之一，這與本章主題相符。

核心概念

第1–3章：誤差、插值、積分

• 誤差傳播：舍入誤差和資料誤差在計算過程中如何增大或減小，是評判任何演算法的基礎。
• 插值：由資料建構函式，以便在其上進行逼近、微分和積分。
• 求積：由取樣值逼近定積分。

第4–6章：線性代數、零點與極小點、特徵值

• 線性方程組：線性方程組的數值解，是第4章的主題，對大型方程組則是第8章的主題。
• 迭代極小化：產生收斂到極小點的近似序列。
• 特徵值計算：求矩陣特徵值和特徵向量的演算法。

第7–8章：微分方程與大型方程組

• 剛性與隱式微分方程：需要專門方法才能穩定地數值求解的問題。
• 大型線性方程組的迭代解法：利用規模與結構的方法，包括多重網格的思想。

評析

優點

• 一卷之內覆蓋面廣。 八章涵蓋了數值分析從誤差到大型線性方程組的核心領域，Mathematical Gazette 上的書評（Leversha，2004）稱其為全面的入門書和極有價值的參考書。
• 經典方法與現代方法兼備。 EMS Newsletter（2003）的評論者稱這是一本寫得很好的教材，包含經典方法和現代做法，有許多有趣的例子和精心挑選的習題。
• 突出的專題。 Acta 的書評稱快速 Fourier 變換方法、極小化方法、剛性與隱式常微分方程、微分—代數方程組以及多重網格方法的基礎講得特別好。
• 既是教材又是參考書。 Gazette 的書評說，目錄使查詢各節很容易，書末還附有數值方法的通用文獻目錄。

侷限

• 作為第一門課要求較高。 書評把它定位為高年級本科生或研究生低年級，出版社的叢書介紹也以高年級本科生和研究生低年級課程為物件；缺乏數學成熟度的學生需要先讀一本更平緩的書。
• 篇幅長。 約740頁，內容多於一門課所能涵蓋，所以課程必須選擇章節。
• 重點不在程式設計。 章節目錄中沒有任何跡象表明涉及程式設計實踐或軟體；想要程式碼和實現的讀者需要另備一本偏計算的教材。

在課程中的定位

Stoer 與 Bulirsch 是本課程書單中範圍廣、理論豐富的教材。Burden、Faires 與 Burden 的 Numerical Analysis 是對數值方法及其背後數學的本科入門；Süli 與 Mayers 的 An Introduction to Numerical Analysis 是數學上嚴格的入門書。兩者都是合理的第一本書。Moler 的 Numerical Computing with MATLAB 以及 Kong、Siauw 與 Bayen 的 Python 教材透過程式設計來講這門學科，是動手方面的好搭檔。

Trefethen 與 Bau 的 Numerical Linear Algebra 是專講一個領域的簡明研究生教材，其主題涵蓋 Stoer 與 Bulirsch 的第4、6、8章，並自成一書。想要完整的全景時讀 Stoer 與 Bulirsch，當數值線性代數成為主要興趣時再讀 Trefethen 與 Bau。

如何使用本書

本書適合數學專業的高年級本科生和研究生低年級學生，也適合需要參考書的研究人員。需要熟悉分析與線性代數，學過數值方法課程會使進度更從容。

• 核心： 第1至4章構成自然的第一門課：誤差、插值、積分和線性方程組。
• 接下來： 第5、6章講非線性方程、極小化和特徵值，然後是講微分方程的第7章。
• 之後： 第8章講大型稀疏方程組，並可作為專門方法的參考章節。

把習題當作主要的練習，並用你選擇的語言自己實現這些演算法，以觀察書中所分析的誤差行為。