01 / 导读
导读
引用
Enderton, H. B. (2001). A Mathematical Introduction to Logic (2nd ed.). Harcourt/Academic Press.
章节概要
第二版是一本约300页的精悍教材。在前言和引言之后有五章（从第0章编号），其后是进一步阅读建议、符号表和索引。出版社称，本书为没有学过逻辑、但有一定数学推理经验的读者而写，并比第一版更灵活地让课程自行取舍内容。书中增加了关于计算复杂性和数据库查询等计算机科学问题的材料，以及关于集合的补充入门内容。各章篇幅悬殊，这是判断内容分量的有用线索。
第0章：Useful Facts about Sets（关于集合的有用事实）
一个十页的短章，汇集逻辑各章所依赖的集合论背景。它是在遇到不熟悉的概念时查阅的参考，而不是一门集合论课程。
第1章：Sentential Logic（命题逻辑）
五十六页，讲命题逻辑，是所研究的第一个逻辑系统。本章内容包括真值指派、语句的分析（parsing）算法，以及紧致性与有效性（effectiveness）。
第2章：First-Order Logic（一阶逻辑）
最长的一章，共115页，涵盖一阶语言、真与模型。它占全书三分之一以上，是全书的中心。
第3章：Undecidability（不可判定性）
以不可判定性为题的一百页。结尾几节包括第二不完备性定理和指数函数的表示，因此本章触及了不完备性结果。
第4章：Second-Order Logic（二阶逻辑）
篇幅短小的最后一章，共25页。内容包括二阶语言、Skolem 函数、多类逻辑和一般结构。
核心概念
第0–1章：集合与命题逻辑
- 真值指派：给语句符号指派真值的方式，用来定义公式何时为真。
- 分析算法：判定一个符号串是否为合式语句并恢复其结构的程序。
- 紧致性：把一个语句集的可满足性与其有限子集的可满足性联系起来的性质。
第2章：一阶逻辑
- 一阶语言：带量词的形式语言，用来书写关于数学结构的陈述。
- 真与模型：语句在结构中何时成立的定义，以及理论的模型的概念。
第3–4章：不可判定性与二阶逻辑
- 第二不完备性定理：对理论自身一致性之可证性的限制，在第3章讨论。
- Skolem 函数与多类逻辑：出现在讲二阶语言的最后一章中的手段。
评析
优点
- 面向逻辑的初学者。 出版社说明，本书适合没有学过逻辑但有数学推理经验的读者；第二版被描述为更便于当今数学和哲学专业的本科生使用。
- 使用灵活。 介绍强调修订版提供了更大的灵活性，可以选择在课程中如何使用本书。
- 与计算机科学相联系。 出版社突出了关于计算复杂性和数据库查询的材料，使本书对理论计算机科学的学生和数学、哲学的学生都有意义。
- 篇幅紧凑、比例分明。 全书317页、五章，短到可以通读，页数让各章的分量一目了然：一阶逻辑和不可判定性占去约三分之二的篇幅。
局限
- 只有五个主题。 内容是集合、命题逻辑、一阶逻辑、不可判定性和二阶逻辑。想把模型论、集合论或可计算性当作独立学科来学的读者需要另读其他书，书中的进一步阅读建议是起点。
- 对证明技巧帮助不多。 本书假定读者有一定的数学推理经验，还没写过证明的学生应先读一本讲证明写作的书。
在课程中的定位
Enderton 是本书单中的形式逻辑教材，面向已经会写证明的学生。Hammack 的 Book of Proof 和 Velleman 的 How to Prove It 讲授本书所预设的证明技巧和基本逻辑。Leary 与 Kristiansen 的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 是面向高年级本科生的数理逻辑第一门课的开放教材，如果 Enderton 节奏太快，它是更平缓的替代品或搭档。
书单中其余关于纯数学、数学推理以及数与证明的书，涉及的范围比逻辑更广。当目标是对语言、结构和证明的形式研究、并以不完备性和不可判定性为顶点时，应选 Enderton。
如何使用本书
出版社给出的读者对象是计算机科学、哲学和数学专业的本科生与研究生。读者应能自如地对待数学证明；对集合有基本了解会有帮助，第0章可补缺。
- 核心： 第1、2章构成第一门课，合计约170页。
- 接着： 第3章讲不完备性和不可判定性，与可计算性相联系，书中最著名的结果就在这里。
- 选读： 讲二阶逻辑的第4章，第0章只在需要时查阅。
阅读时应按页数而不是章号安排时间，因为仅第2章就比第0、1、4章加起来还长。练习时要亲手写出关于语法和语义的论证，而不是被动地阅读。关于模型论、集合论和可计算性，可利用书末的进一步阅读建议。