Introduction to Numerical Analysis（数值分析导论）

引用

Stoer, J., & Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.; R. Bartels, W. Gautschi & C. Witzgall, Trans.). Springer. Texts in Applied Mathematics, vol. 12.

章节概要

第三版约740页，共八章，其后是参考文献、数值方法通用文献目录和索引。它译自作者的德文教材，英文版首次出版于1980年。各章遵循数值分析课程通常的脉络：从误差的算术出发，经过逼近与积分、数值线性代数的两大分支，再到零点与极小化，最后是微分方程。各章的篇幅显示了重点所在：常微分方程（154页）、大型线性方程组的迭代方法（111页）、插值（108页）和特征值问题（101页）篇幅最大。

第1章：Error Analysis（误差分析）

第一章（36页）讨论在有限精度算术中做数值计算时产生的误差，以及它们如何在算法中传播。它确立了后续各章使用的误差与稳定性的词汇。

第2章：Interpolation（插值）

108页，是前四章中最长的一章。讨论如何构造与给定数据吻合的函数。

第3章：Topics in Integration（积分专题）

较短的一章（45页），讲数值积分，即由函数值计算定积分。

第4章：Systems of Linear Equations（线性方程组）

线性方程组的数值解，约一百页。它与第6、8章一起构成关于矩阵问题的三章中的第一章。

第5章：Finding Zeros and Minimum Points by Iterative Methods（用迭代法求零点与极小点）

用迭代法求非线性方程的零点和多元函数的极小点。Acta Scientiarum Mathematicarum 的一位评论者特别指出，书中对最重要的极小化方法讨论得很透彻。

第6章：Eigenvalue Problems（特征值问题）

计算矩阵特征值和特征向量的方法，约占一百页。

第7章：Ordinary Differential Equations（常微分方程）

常微分方程的数值解。同一位评论者把刚性或隐式微分方程以及微分—代数方程组的求解列为本书的亮点。

第8章：Iterative Methods for the Solution of Large Systems of Linear Equations. Additional Methods（大型线性方程组的迭代解法及其他方法）

在直接方法不再实用时，用于大型线性方程组的迭代求解方法。同一位评论者把多重网格方法的基础列为本书的特色之一，这与本章主题相符。

核心概念

第1–3章：误差、插值、积分

• 误差传播：舍入误差和数据误差在计算过程中如何增大或减小，是评判任何算法的基础。
• 插值：由数据构造函数，以便在其上进行逼近、微分和积分。
• 求积：由采样值逼近定积分。

第4–6章：线性代数、零点与极小点、特征值

• 线性方程组：线性方程组的数值解，是第4章的主题，对大型方程组则是第8章的主题。
• 迭代极小化：产生收敛到极小点的近似序列。
• 特征值计算：求矩阵特征值和特征向量的算法。

第7–8章：微分方程与大型方程组

• 刚性与隐式微分方程：需要专门方法才能稳定地数值求解的问题。
• 大型线性方程组的迭代解法：利用规模与结构的方法，包括多重网格的思想。

评析

优点

• 一卷之内覆盖面广。 八章涵盖了数值分析从误差到大型线性方程组的核心领域，Mathematical Gazette 上的书评（Leversha，2004）称其为全面的入门书和极有价值的参考书。
• 经典方法与现代方法兼备。 EMS Newsletter（2003）的评论者称这是一本写得很好的教材，包含经典方法和现代做法，有许多有趣的例子和精心挑选的习题。
• 突出的专题。 Acta 的书评称快速 Fourier 变换方法、极小化方法、刚性与隐式常微分方程、微分—代数方程组以及多重网格方法的基础讲得特别好。
• 既是教材又是参考书。 Gazette 的书评说，目录使查找各节很容易，书末还附有数值方法的通用文献目录。

局限

• 作为第一门课要求较高。 书评把它定位为高年级本科生或研究生低年级，出版社的丛书介绍也以高年级本科生和研究生低年级课程为对象；缺乏数学成熟度的学生需要先读一本更平缓的书。
• 篇幅长。 约740页，内容多于一门课所能涵盖，所以课程必须选择章节。
• 重点不在编程。 章节目录中没有任何迹象表明涉及编程实践或软件；想要代码和实现的读者需要另备一本偏计算的教材。

在课程中的定位

Stoer 与 Bulirsch 是本课程书单中范围广、理论丰富的教材。Burden、Faires 与 Burden 的 Numerical Analysis 是对数值方法及其背后数学的本科入门；Süli 与 Mayers 的 An Introduction to Numerical Analysis 是数学上严格的入门书。两者都是合理的第一本书。Moler 的 Numerical Computing with MATLAB 以及 Kong、Siauw 与 Bayen 的 Python 教材通过编程来讲这门学科，是动手方面的好搭档。

Trefethen 与 Bau 的 Numerical Linear Algebra 是专讲一个领域的简明研究生教材，其主题涵盖 Stoer 与 Bulirsch 的第4、6、8章，并自成一书。想要完整的全景时读 Stoer 与 Bulirsch，当数值线性代数成为主要兴趣时再读 Trefethen 与 Bau。

如何使用本书

本书适合数学专业的高年级本科生和研究生低年级学生，也适合需要参考书的研究人员。需要熟悉分析与线性代数，学过数值方法课程会使进度更从容。

• 核心： 第1至4章构成自然的第一门课：误差、插值、积分和线性方程组。
• 接下来： 第5、6章讲非线性方程、极小化和特征值，然后是讲微分方程的第7章。
• 之后： 第8章讲大型稀疏方程组，并可作为专门方法的参考章节。

把习题当作主要的练习，并用你选择的语言自己实现这些算法，以观察书中所分析的误差行为。