動力学システム：微分方程式、写像、カオス的振る舞い

引用

Arrowsmith, D. K., & Place, C. M. (1992). Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. Chapman & Hall. Chapman & Hall/CRC Mathematics Series, vol. 5.

章の要約

本書は約330ページで6つの章からなり、演習のヒントを含む参考文献と索引が付く。著者の以前の Ordinary Differential Equations（1982）に代わるものである。出版社の紹介文は、力学系の定性的な性質を、微分方程式と写像の両方を含めて論じる教科書で、例に大きく依拠し、豊富な演習、解法のヒント、図で補っていると述べる。その狙いは、カオスやフラクタルといった新しい話題を、常微分方程式の標準的な教育の中に位置づけることである。

第1章：Introduction（序論）

基本的な概念として、解の存在と一意性、解の幾何学的表現、自律方程式を扱う。位相図と系の定性的な見方に重点が置かれる。章末は演習である。

第2章：Linear Systems（線形系）

線形系の解法と分類、標準形の位相図、高次元の線形系、発展作用素、アフィン系。章末に演習がある。

第3章：Non-linear Systems in the Plane（平面上の非線形系）

平面上の非線形系の局所的・大域的な振る舞い、不動点の安定性、第一積分、リミットサイクルに関するPoincaré–Bendixson理論、そして単純でない不動点を扱う。索引の項目には、線形化定理、分離線、等傾斜線、捕捉領域がある。

第4章：Flows on Non-Planar Phase Spaces（非平面相空間上の流れ）

平面でない相空間での微分方程式。双曲型・非双曲型の不動点、閉軌道、吸引集合とアトラクター、Hamilton方程式、Poincaré写像を扱う。Poincaré写像は、流れを後で展開される写像の研究に結びつける。

第5章：Applications I: Planar Phase Spaces（応用I：平面相空間）

平面の理論を、機械的な振動子、電気回路、結合振動子のモデルに応用する。Van der Pol振動子などアフィンおよび非線形の例を含む。

第6章：Applications II: Non-Planar Phase Spaces, Families of Systems, and Bifurcations（応用II：非平面相空間、系の族、分岐）

最も長い章で、約212ページから288ページの演習まで続く。非平面のモデルと、パラメータとともに振る舞いが変わる系の族を調べ、写像の分岐を含む分岐を扱う。索引の項目には面積保存写像と周期倍分岐（flip bifurcation）がある。紹介文によれば、本書はフラクタル画像とセルオートマトンの入門も与える。

主要概念

第1〜2章：位相図と線形系

• 位相図：相空間の解曲線の図で、系の定性的な振る舞いを示す。
• 自律方程式：変化率が時間ではなく状態だけに依存する方程式。
• 発展作用素：線形系に沿って初期状態を先へ進める作用素。

第3〜4章：非線形系

• 不動点の安定性：双曲型と非双曲型を含む、平衡点付近の振る舞いの分類。
• リミットサイクルとPoincaré–Bendixson理論：平面系の孤立した周期軌道と、それを見つける定理。
• Poincaré写像：流れを写像に還元し、微分方程式と写像を結びつける。

第5〜6章：応用と分岐

• 分岐：パラメータの変化に伴う力学の定性的な変化。サドル・ノード分岐や周期倍分岐など。
• カオス的挙動：離散系の不規則な力学で、書名の中心にある。

批判的分析

長所

• まず例から。 紹介文は、本書の方法が例に大きく依拠し、豊富な演習、解法のヒント、図で支えられていると述べる。位相図を主な道具とする分野に合っている。
• 微分方程式と写像を併せて扱う。 本書はカオスと離散力学を標準的な常微分方程式の講義の枠内に置き、Poincaré写像を橋渡しに用いる。
• 物理的な応用。 応用の章は機械的・電気的なモデルを扱い、紹介文は物理、工学、地質学を挙げている。
• 独習への配慮。 参考文献の後に演習のヒントがあり、最初の4章はそれぞれ演習で終わる。

短所

• コンパクト。 約330ページ、6章の本は参考書ではなく入門コースであり、より高度な結果の証明や他の方法が必要な読者は別の教科書を使う。
• 出版時期の制約。 1992年に書かれ、紹介文が述べるようにカオスとフラクタルがカリキュラムに入ってきた時期のもので、その後の展開は扱っていない。
• 写像とカオスの独立した章がない。 書名は写像とカオス的挙動を強調するが、6つの章題のどれもそれを挙げていないので、離散力学を早く学びたい読者は流れと分岐の章の中から探さなければならない。

コースにおける位置づけ

このリストの中で Arrowsmith と Place は、数学寄りの定性的な力学系の教科書である。Boyce、DiPrima、Meadeの Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems と Lebl の無料の Notes on Diffy Qs は解法を紹介し、良い準備になる。Hirsch、Smale、Devaney の Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos は力学系の観点から常微分方程式を扱い、同じ主題での最も近い代替である。

Brock と Malliaris の Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamic Economics は、関連する安定性の方法を経済モデルに応用する。Arrowsmith と Place を先に読むと、その本が前提とする数学的な見取り図が得られる。

本書の使い方

本書は、常微分方程式と線形代数の入門コースを終え、定性理論と科学への応用を学びたい学生に向く。

• 中核： 第1〜3章。位相図と平面の理論を確立する。
• 次に： 非平面の流れとPoincaré写像の第4章、その後に第5・6章の応用。
• 練習： 各章末の演習を解き、試みたあとで巻末のヒントを使うこと。位相図を手で描くことが、身につけるべき最も有用な技能である。