动力系统：微分方程、映射与混沌行为

引用

Arrowsmith, D. K., & Place, C. M. (1992). Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. Chapman & Hall. Chapman & Hall/CRC Mathematics Series, vol. 5.

章节概要

全书约330页，共六章，另有附有习题提示的参考文献和索引。它取代了作者早先的《Ordinary Differential Equations》（1982）。出版社的简介称，这是一本讲动力系统定性性质的教材，同时涵盖微分方程和映射，大量依靠例子，并辅以丰富的习题、解题提示和图示。其宗旨是把混沌与分形这些较新的主题纳入常微分方程的标准教学之中。

第1章：Introduction（引言）

基本概念：解的存在与唯一性、解的几何表示以及自治方程。重点是相图和系统的定性观点。本章以习题结束。

第2章：Linear Systems（线性系统）

线性系统的解法与分类、标准形的相图、高维线性系统、演化算子和仿射系统。章末为习题。

第3章：Non-linear Systems in the Plane（平面上的非线性系统）

平面非线性系统的局部与全局行为、不动点的稳定性、首次积分，以及关于极限环的 Poincaré–Bendixson 理论，并讨论非简单不动点。索引词条中有线性化定理、分界线、等倾线和捕获区域。

第4章：Flows on Non-Planar Phase Spaces（非平面相空间上的流）

非平面相空间中的微分方程：双曲与非双曲不动点、闭轨道、吸引集与吸引子、Hamilton 方程和 Poincaré 映射。Poincaré 映射把流与后文发展的映射研究联系起来。

第5章：Applications I: Planar Phase Spaces（应用 I：平面相空间）

把平面理论应用于机械振子、电路和耦合振子的模型，包括仿射与非线性的例子，如 Van der Pol 振子。

第6章：Applications II: Non-Planar Phase Spaces, Families of Systems, and Bifurcations（应用 II：非平面相空间、系统族与分岔）

最长的一章，从约第212页延伸到第288页的习题。本章考察非平面模型以及行为随参数变化的系统族，并讨论分岔，包括映射的分岔。索引词条中有保面积映射和倍周期（flip）分岔。简介还说，本书给出了分形成像和元胞自动机的入门介绍。

核心概念

第1–2章：相图与线性系统

• 相图：相空间中解曲线的图，显示系统的定性行为。
• 自治方程：变化率只取决于状态、与时间无关的方程。
• 演化算子：沿线性系统把初始状态向前推进的算子。

第3–4章：非线性系统

• 不动点的稳定性：对平衡点附近行为的分类，包括双曲与非双曲情形。
• 极限环与 Poincaré–Bendixson 理论：平面系统的孤立周期轨道，以及判定它们的定理。
• Poincaré 映射：把流化为映射，联系微分方程与映射。

第5–6章：应用与分岔

• 分岔：随参数变化，动力学发生定性变化，如鞍结分岔和倍周期分岔。
• 混沌行为：离散系统的不规则动力学，是书名所强调的内容。

评析

优点

• 以例子为先。 简介称本书的方法大量依靠例子，并辅以丰富的习题、解题提示和图示，这与一个以相图为主要工具的学科相称。
• 微分方程与映射并举。 本书把混沌和离散动力学放在标准常微分方程课程的框架内，以 Poincaré 映射为桥梁。
• 物理方面的应用。 应用各章涉及机械和电学模型，简介点名了物理、工程和地质。
• 便于自学。 参考文献之后附有习题提示，前四章每章都以一组习题结束。

局限

• 篇幅精简。 全书约330页、六章，是一门入门课程而非参考书；需要更高深结果的证明或其他方法的读者要另备教材。
• 带有年代的印记。 本书写于1992年，正如简介所说，当时混沌与分形刚进入课程，此后的发展没有涉及。
• 映射与混沌没有独立的章。 书名强调映射和混沌行为，但六个章标题都没有提到它们，想早点学离散动力学的读者须在流与分岔的章节中寻找。

在课程中的定位

在本书单中，Arrowsmith 与 Place 属于偏数学的、定性的动力系统教材。Boyce、DiPrima 与 Meade 的 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 以及 Lebl 的免费教材 Notes on Diffy Qs 介绍求解方法，是很好的准备。Hirsch、Smale 与 Devaney 的 Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 从动力系统的角度处理常微分方程，是同一主题上最接近的替代选择。

Brock 与 Malliaris 的 Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamic Economics 把相关的稳定性方法应用于经济模型，先读 Arrowsmith 与 Place 能为那本书打下数学图景的基础。

如何使用本书

本书适合学过常微分方程和线性代数入门课程、希望学习定性理论及其在科学中应用的学生。

• 核心： 第1至3章，建立相图和平面理论。
• 接下来： 第4章讲非平面流和 Poincaré 映射，然后是第5、6章的应用。
• 练习： 做每章末的习题，试过之后再看书后的提示。手绘相图是最值得培养的技能。