01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Hirsch, M. W., Smale, S., & Devaney, R. L. (2012). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos (3rd ed.). Academic Press (Elsevier).
章の要約
本書は17章からなります。第1–6章で線形の理論を築き、第7–10章で非線形系とその長期的な振る舞いに進み、第11–13章でそれを生物学・回路・力学に応用し、第14–16章でカオス的な力学系を導入し、第17章で存在と一意性の定理に戻ります。12の章には「Exploration」と題された節が1つ以上あり（目次では合計17）、各章の主な流れを離れて、特定のモデルや問いを掘り下げます。
第1章：1階の方程式
最も単純な方程式から始まり、ロジスティック人口モデル、一定の収穫と分岐、周期的な収穫と周期解へと進みます。ポアンカレ写像の計算の節は、後で使われる道具を導入し、Exploration では2パラメータ族を調べます。
第2–4章：平面線形系／平面系の相図／平面系の分類
第2章は2階方程式から出発し、それを平面系に書き換え、必要な代数を復習したうえで、固有値、固有ベクトル、線形系の解法、線形性の原理を展開します。第3章は、相異なる実固有値、複素固有値、重複固有値から生じる相図を描き、座標変換を扱います。第4章はトレース–行列式平面と力学的な分類の概念によって平面系を分類し、Exploration は3次元のパラメータ空間です。
第5–6章：高次元の線形代数／高次元の線形系
第5章は、2変数を超える系に必要な線形代数（予備知識、固有値と固有ベクトル、複素固有値、基底と部分空間、重複固有値、一般性）を整えます。第6章はそれを、相異なる固有値と重複固有値をもつ系、調和振動子、行列の指数関数、非自励線形系に応用します。
第7–8章：非線形系／非線形系の平衡点
第7章は力学系を定義し、存在と一意性の定理、解の連続依存性、変分方程式を述べます。2つの Exploration は、数値解法、およびカオスとの関係での数値解法を扱います。第8章は、具体例、非線形のシンクとソース、鞍点、安定性、分岐を通して平衡点を調べ、Exploration は複素ベクトル場です。
第9–10章：大域的な非線形の手法／閉軌道と極限集合
第9章はヌルクライン、平衡点の安定性、勾配系、ハミルトン系を導入し、Exploration は一定の外力を受ける振り子です。第10章は、極限集合、局所断面とフローボックス、ポアンカレ写像、平面力学系における単調列、ポアンカレ–ベンディクソンの定理とその応用を扱い、振動する化学反応で締めくくります。
第11–13章：生物学への応用／回路理論への応用／力学への応用
第11章は感染症、捕食者–被食者系、競争する種を扱い、Exploration では競争下での収穫と、SIR モデルへのゾンビの追加を取り上げます。第12章は RLC 回路から出発して、リエナール方程式とファン・デル・ポール方程式を経て、ホップ分岐に至り、Exploration は神経力学です。第13章はニュートンの第2法則、保存系、中心力場、ケプラーの第1法則、二体問題、特異点の爆発（blowing up）の手法を展開し、Exploration は他の中心力問題、量子力学系の古典極限、グライダーの運動です。
第14–16章：ローレンツ系／離散力学系／ホモクリニック現象
第14章はローレンツ系、その基本的性質、ローレンツ・アトラクター、そのモデル、カオス的アトラクターを導入し、Exploration はレスラー・アトラクターです。第15章は離散系に移り、分岐、離散ロジスティック・モデル、カオス、記号力学、シフト写像、カントールの3進集合を扱い、Exploration は3次のカオスと軌道図です。第16章はシルニコフ系、馬蹄写像、ダブルスクロール・アトラクター、ホモクリニック分岐を扱い、Exploration はチュア回路です。
第17章：存在と一意性の再考
最終章は第7章の定理を再び取り上げてその証明を与え、続いて初期条件への連続依存性、解の延長、非自励系、流れの微分可能性を扱います。
主要概念
第1–6章：線形理論
- ポアンカレ写像：第1章で周期的に駆動される1階方程式のために導入され、第10章で閉軌道のために再び使われます。
- トレース–行列式平面：第4章で平面線形系を分類する舞台。
- 行列の指数関数：第6章で高次元の線形系を解くための道具。
第7–10章：非線形系
- 存在と一意性の定理：第7章で述べられ、第17章で証明されます。
- 平衡点の安定性と分岐：第8章の主題。
- 勾配系とハミルトン系：第9章で扱う2つの系のクラス。
- ポアンカレ–ベンディクソンの定理：第10章の、極限集合に関する平面での結果。
第11–17章：応用とカオス
- ホップ分岐：リエナール方程式とファン・デル・ポール方程式に続く12.4節の主題。
- ローレンツ・アトラクター：第14章の中心的な例。
- 記号力学とシフト写像：第15章で、離散系のカオスを理解するための道具。
- 馬蹄写像とホモクリニック分岐：第16章の主題。
批判的分析
長所
- 線形から非線形への明快な道筋。 目次は、平面線形系から高次元の線形代数を経て、非線形の平衡点、大域的手法、極限集合へと進み、各話題が前の話題によって準備されています。第5章と2.3節の予備知識により、線形代数は本書の中で復習されます。
- Exploration。 17の「Exploration」の節は、第1章の2パラメータ族から第16章のチュア回路まで、学生が自分で調べるモデルを与えます。出版社は第3版を、内容の更新と応用の拡充を行ったものと説明しており、目次には、たとえば SIR モデルへのゾンビの追加（11.5）が含まれています。
- 3つの応用の章。 生物学、回路、力学にそれぞれ1章（第11–13章）が当てられ、第8–10章の定性的な道具に具体的な仕事を与えています。
- 理論も省かれていない。 存在と一意性の定理は早い段階（7.2節）で述べられ、第17章（17.2節）で別に証明されるので、課程では先に定理を使い、後で証明を学ぶこともできます。
短所
- 解法を学ぶ最初の課程ではない。 目次には、級数解、ラプラス変換、偏微分方程式の章がなく、2階方程式は2.1節、調和振動子は6.2節にしか出てきません。方程式の解法を網羅的に知りたい学生は、別の本を併用したほうがよいでしょう。
- 専門性の高い後半の章。 第13章と第16章（特異点の爆発、シルニコフ系、馬蹄写像、ホモクリニック分岐）は目次の中でもっとも専門的であり、出版社は想定読者を上級の学部生と大学院生としています。
- 入門レベルがはっきりしない。 出版社は微積分が必要であり、線形系はゆっくり導入されると述べる一方で、読者層は上級の学部生と大学院生としています。事前に微分方程式の最初の課程を受けるかどうかは、読者自身で判断する必要があります。
コースにおける位置づけ
本書は、微分方程式の学習の流れの中で2番目に読む本です。Boyce と DiPrima の『Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems』は、解法、定性的な理解、応用のバランスをとった最初の課程であり、Jiří Lebl の『Notes on Diffy Qs』は工学系の学生向けの無料の最初の課程です。本書の前には、とくに Hirsch、Smale、Devaney が扱っていない解法を学ぶために、どちらかを読むのが自然です。Arrowsmith らの『Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour』は、安定性、非線形力学、写像、カオス的な振る舞いの厳密な扱いとして紹介されており、次の一歩になりえます。『Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics』は、同じ考え方の経済学への応用に向いています。
本書の使い方
本書は、微積分と線形代数の課程を終え、微分方程式の幾何学的・定性的な側面を学びたい数学・理工系の学生に向いています。他の本で基本的な常微分方程式の手法をすでに学んだ独学者にも役立ちます。
実際の進め方は次のとおりです。
- 中核（第1–10章）： 順に読みます。第2–4章は平面の話題すべての土台で、第7–10章が非線形の理論を担います。分岐と極限集合を実感するために、第1、4、8、9、10章の Exploration に取り組んでください。
- 応用（第11–13章）： 関心に応じて選びます。感染症と個体群を扱う第11章はもっとも取り組みやすく、第13章は物理系の学生に最適です。
- カオス（第14–16章）： 第14章と第15章（ローレンツ系と離散力学系）がカオスの話題の中心で、第16章はもっとも専門的なので、2回目の読みに回すとよいでしょう。
- 理論（第17章）： 課程で存在と一意性の証明を扱う場合は、第7章の後に読みます。
相図や第7章の数値的な Exploration には、計算機代数システムまたは作図ツールを使ってください。