Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos（微分方程、动力系统与混沌导论）

引用

Hirsch, M. W., Smale, S., & Devaney, R. L. (2012). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos (3rd ed.). Academic Press (Elsevier).

章节概要

全书共十七章。第1–6章建立线性理论，第7–10章转向非线性系统及其长期行为，第11–13章把这些内容应用于生物学、电路和力学，第14–16章引入混沌动力学，第17章回到存在唯一性定理。有十二章包含一个或多个题为“Exploration”的小节（目录中共十七个），它们在章节主线之外探讨某个具体的模型或问题。

第1章：一阶方程

全书从最简单的方程开始，随后讲到逻辑斯蒂人口模型、恒定收获与分岔、周期性收获与周期解。计算庞加莱映射的一节引入了后面要用到的工具，Exploration 研究一个双参数族。

第2–4章：平面线性系统；平面系统的相图；平面系统的分类

第2章从二阶方程出发，把它们化为平面系统，复习所需的代数，并展开特征值、特征向量、线性系统的求解和线性原理。第3章绘制由相异实特征值、复特征值和重特征值产生的相图，并讨论坐标变换。第4章通过迹–行列式平面和动力学意义上的分类概念对平面系统分类；其 Exploration 是一个三维参数空间。

第5–6章：高维线性代数；高维线性系统

第5章为多于两个变量的系统提供线性代数：预备知识、特征值与特征向量、复特征值、基与子空间、重特征值，以及一般性。第6章把它应用于具有相异特征值和重特征值的系统、谐振子、矩阵指数，以及非自治线性系统。

第7–8章：非线性系统；非线性系统中的平衡点

第7章定义动力系统，并陈述存在唯一性定理、解的连续依赖性和变分方程；两个 Exploration 分别讨论数值方法，以及与混沌相关的数值方法。第8章通过实例、非线性的汇与源、鞍点、稳定性和分岔来研究平衡点，其 Exploration 是复向量场。

第9–10章：全局非线性技术；闭轨与极限集

第9章介绍零倾线、平衡点的稳定性、梯度系统和哈密顿系统，Exploration 是受恒定强迫的单摆。第10章讨论极限集、局部截面与流盒、庞加莱映射、平面动力系统中的单调序列、庞加莱–本迪克森定理及其应用，最后以振荡的化学反应结尾。

第11–13章：生物学中的应用；电路理论中的应用；力学中的应用

第11章涵盖传染病、捕食者–被捕食者系统和竞争物种，Exploration 讨论竞争条件下的收获，以及在 SIR 模型中加入僵尸。第12章从 RLC 电路出发，经过李纳方程和范德波尔方程，到达霍普夫分岔，Exploration 是神经动力学。第13章展开牛顿第二定律、保守系统、有心力场、开普勒第一定律、二体问题和奇点爆破（blowing up）的技术，Exploration 涉及其他有心力问题、量子力学系统的经典极限，以及滑翔机的运动。

第14–16章：洛伦兹系统；离散动力系统；同宿现象

第14章介绍洛伦兹系统、它的基本性质、洛伦兹吸引子、一个几何模型和混沌吸引子，Exploration 是勒斯勒尔吸引子。第15章转向离散系统：分岔、离散逻辑斯蒂模型、混沌、符号动力学、移位映射和康托尔三分集，Exploration 是三次映射的混沌和轨道图。第16章涵盖希尔尼科夫系统、马蹄映射、双涡卷吸引子和同宿分岔，Exploration 是蔡氏电路。

第17章：再论存在唯一性

最后一章重新回到第7章的定理并给出其证明，随后讨论对初始条件的连续依赖性、解的延拓、非自治系统和流的可微性。

核心概念

第1–6章：线性理论

• 庞加莱映射：第1章为周期性受迫的一阶方程引入，在第10章中再次用于研究闭轨。
• 迹–行列式平面：第4章中对平面线性系统分类的场所。
• 矩阵指数：第6章中求解高维线性系统的工具。

第7–10章：非线性系统

• 存在唯一性定理：在第7章陈述，在第17章证明。
• 平衡点的稳定性与分岔：第8章的主题。
• 梯度系统与哈密顿系统：第9章处理的两类系统。
• 庞加莱–本迪克森定理：第10章中关于极限集的平面结果。

第11–17章：应用与混沌

• 霍普夫分岔：12.4节的主题，紧接在李纳方程和范德波尔方程之后。
• 洛伦兹吸引子：第14章的核心例子。
• 符号动力学与移位映射：第15章中理解离散系统混沌的工具。
• 马蹄映射与同宿分岔：第16章的主题。

评析

优点

• 从线性到非线性的清晰路径。 目录从平面线性系统出发，经过高维线性代数，到非线性平衡点、全局技术和极限集，每个主题都由前一个主题铺垫。第5章和2.3节的预备内容意味着线性代数在书中得到了复习。
• Exploration。 十七个“Exploration”小节为学生提供可以自行研究的模型，从第1章的双参数族到第16章的蔡氏电路。出版社称第三版更新了内容并扩充了应用；目录中包括例如在 SIR 模型中加入僵尸的内容（11.5）。
• 三个应用章节。 生物学、电路和力学各有一整章（第11–13章），让第8–10章的定性工具有了具体的用武之地。
• 理论并未缺席。 存在唯一性定理在较早处（7.2节）陈述，并在第17章（17.2节）中单独证明，因此课程可以先使用定理、后讲证明。

局限

• 不是学习求解技巧的第一门课。 目录中没有关于级数解、拉普拉斯变换或偏微分方程的章节，二阶方程只出现在2.1节，谐振子只出现在6.2节；需要系统了解方程求解方法的学生应另配一本书。
• 后面的章节较为专门。 第13章和第16章（奇点爆破、希尔尼科夫系统、马蹄映射、同宿分岔）是目录中最专门的部分，出版社给出的读者群是高年级本科生和研究生。
• 入门水平界定不够清晰。 出版社称需要微积分，并说线性系统是缓慢引入的，但同时把读者群描述为高年级本科生和研究生；读者应自行判断是否要先学一门微分方程入门课。

在课程中的定位

本书属于微分方程学习序列中的第二本。Boyce 和 DiPrima 的《Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems》是兼顾求解方法、定性理解与应用的第一门课，Jiří Lebl 的《Notes on Diffy Qs》则是面向工程专业学生的免费第一门课；读本书之前，先读其中任何一本都很自然，尤其是为了学习 Hirsch、Smale 和 Devaney 没有涉及的求解方法。Arrowsmith 等人的《Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour》被介绍为对稳定性、非线性动力学、映射和混沌行为的严格论述，是可能的下一步；《Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics》则适合了解同样思想在经济学中的应用。

如何使用本书

本书适合已学完微积分和线性代数、希望了解微分方程的几何与定性一面的数学、理工科学生，也适合已在别处接触过基本常微分方程方法的自学者。

实用的学习安排如下：

• 核心（第1–10章）： 按顺序阅读。第2–4章是所有平面问题的基础，第7–10章承载非线性理论。做第1、4、8、9、10章的 Exploration，亲身体验分岔和极限集。
• 应用（第11–13章）： 按兴趣选择；讲传染病和种群的第11章最容易入手，第13章最适合物理专业的学生。
• 混沌（第14–16章）： 第14章和第15章（洛伦兹系统与离散动力系统）是混沌内容的核心，第16章最为专门，适合留到第二遍阅读。
• 理论（第17章）： 如果课程包含存在唯一性的证明，在第7章之后阅读。

绘制相图以及做第7章中的数值 Exploration 时，请使用计算机代数系统或绘图工具。