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導讀
引用
Goriely, A. (2018). Applied Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. Very Short Introductions.
章節概要
全書約 140 頁，包括八章、一篇簡短的尾聲、延伸閱讀書目與索引。每章標題都由一個俏皮的問題和一個點出本章例子的副標題組成。出版社把本書的目標描述為：精簡而全面地呈現應用數學這個領域，以及它與純數學、科學和工程的關係——它在物理與工程中的早期成就、二戰後發展成獨立學門的過程，以及它在當今科學中的角色。出版時，作者擔任牛津大學數學建模講座教授，並主持牛津工業與應用數學中心。
第1章：What's so funny 'bout applied mathematics? Modelling, theory, and methods（應用數學有什麼好玩的？——建模、理論與方法）
開篇一章說明應用數學是什麼：建立數學模型、支撐模型的理論，以及分析模型的方法。在此基礎上，它界定應用數學與周遭的純數學、科學和工程之間的關係。
第2章：Do you want to know a secret? Turkeys, giants, and atomic bombs（想知道一個祕密嗎？——火雞、巨人與原子彈）
本章圍繞三個尺度天差地遠的例子：從烹調火雞，到巨人的體型，再到原子彈的能量。它們的共同主軸是從物理量及其因次出發進行推理，這種推理有時在解任何方程式之前就能給出答案。
第3章：Do you believe in models? Simplicity and complexity（你相信模型嗎？——簡單與複雜）
本章討論模型是什麼、應該包含多少細節，並權衡簡單模型與複雜模型。
第4章：Do you know the way to solve equations? Spinning tops and chaotic rabbits（你知道怎麼解方程式嗎？——旋轉的陀螺與混沌的兔子）
模型寫下來之後，就得求解它的方程式。本章以陀螺的運動和一個呈現混沌的兔子族群模型為例。
第5章：What's the frequency, Kenneth? Waves, quakes, and solitons（頻率是多少？——波、地震與孤立子）
本章的主題是波：振動與頻率、地震後在地球內部傳播的波，以及保持形狀不變的孤立波——孤立子。
第6章：Can you picture that? X-rays, DNA, and photos（你能想像嗎？——X 光、DNA 與照片）
本章轉向影像：數學如何把 X 光量測轉成影像、如何進入 DNA 研究，以及照片如何被表示與處理。
第7章：Mathematics, what is it good for? Quaternions, knots, and more DNA（數學有什麼用？——四元數、紐結與更多的 DNA）
這裡方向反了過來：一些為自身而發展的數學，例如四元數與紐結理論，後來找到了用途，包括用於 DNA 研究。
第8章：Where are we going? Networks and the brain（我們將往何處去？——網路與大腦）
最後一章展望較新的領域：網路，以及作者本人也投入研究的大腦建模。其後是一篇簡短的尾聲。
核心概念
第1–3章：應用數學做什麼
- 數學建模：把關於世界的問題轉成數學問題，加以分析並詮釋答案。
- 理論與方法：第1章在模型之外列出的該學門另外兩個組成部分。
- 因次推理：利用物理量的單位與尺度估算答案，這是火雞、巨人與原子彈三個例子的共同主題。
- 簡單與複雜：在簡單到可以分析的模型與詳細到足夠真實的模型之間取捨。
第4–5章：方程式與波
- 解方程式：為模型產生的方程式尋找精確解、近似解或數值解。
- 混沌：確定性系統（例如族群模型）對初始狀態極為敏感，以致無法做長期預測的行為。
- 孤立子：傳播時形狀不變的孤立波。
第6–8章：影像、意外的用途與新前沿
- 數學影像處理：重建與表示影像，從 X 光掃描到數位照片。
- 四元數與紐結：源自純數學、後來找到應用的結構。
- 網路：由相互連結的節點組成的集合，本書以它作為進入大腦建模的途徑。
評析
優點
- 以極少篇幅呈現整個領域。 在約 140 頁之中，本書從什麼是建模講起，經過因次推理、方程式與波，一路到影像、獲得應用的純數學，以及網路與大腦研究。
- 以具體例子為骨架。 每章副標題都點出本章的例子（火雞與原子彈、陀螺與兔子、X 光與照片），因此每個概念都是透過問題而非定義引入。
- 認真看待與純數學的關聯。 第7章專門討論後來變得有用的純數學，出版社也強調本書重視純數學與應用數學之間的關係。
- 出自第一線應用數學家之手。 作者在力學、生物生長與大腦方面的研究，與展望學門走向的最後一章主題相近。
局限
- 是概覽，不是課程。 在這樣的篇幅裡，每個主題只能勾勒輪廓；書中沒有習題，也不教授學生能在作業中使用的技巧。
- 例子有所取捨。 各章偏重力學、波、影像與生物學。本課程其他多數書籍所談的最佳化、統計與作業研究等應用數學領域，並未出現在目錄中。
在課程中的定位
本書是本課程的總論：一本簡短易讀、介紹應用數學家在做什麼的書，適合在讀教科書之前或同時閱讀。它的主題是整個領域，而不是某一種技術。
課程中的其他書都是附有習題的教科書。Guenin、Könemann 與 Tunçel 的 A Gentle Introduction to Optimization 只需要線性代數，是最佳化方向最自然的第一本教科書；Chong、Lu 與 Żak 的 An Introduction to Optimization 以及 Boyd 與 Vandenberghe 的 Convex Optimization 則在最佳化理論與演算法上走得遠得多。Ian Jacques 的 Mathematics for Economics and Business 與 Adam Ostaszewski 的 Advanced Mathematical Methods 介紹帶有經濟等方面應用的數學方法。Goriely 的書提供動機與全局圖像；這些教科書都無法取代它，它也無法取代其中任何一本。
如何使用本書
本書適合剛開始就讀數學、物理或工程科系的學生，在純數學與應用數學方向之間猶豫的學生，以及對建模有興趣的一般讀者。這套叢書是為一般讀者而寫，只假定讀者具備中學數學基礎。
可以分幾次從頭讀完。第1–3章是核心，說明什麼是建模，以及應用數學家如何思考尺度與簡單性；第4–8章各自圍繞自己的例子，可依興趣選讀：動力學與波看第4、5章，影像看第6章，與純數學的關聯看第7章，當前研究方向看第8章。
想要更有收穫，可以把第2章的尺度論證套用到自己挑選的例子上，並循著延伸閱讀書目深入一個感興趣的主題。之後修讀微分方程、數學方法或最佳化課程的學生，可以回到相關章節，提醒自己這些技術為何重要。