高等數學方法

引用

Ostaszewski, A. J. (1991). Advanced Mathematical Methods. Cambridge University Press.

章節概要

全書共23章，分為線性代數（第1–16章）和高等微積分（第17–23章）兩部分，之後第三部分是部分習題的解答。劍橋大學出版社把它描述為一門自足的數學方法第二課程，涉及可應用於統計學、運籌學、電腦科學、計量經濟學和數理經濟學的線性代數與多元微積分專題。它自稱的方法是在嚴格的理論方法與「食譜式」方法之間保持平衡，並給出具體而直觀的幾何解釋。

第1–4章：向量空間（複習）；ℝⁿ中的幾何；矩陣；投影

第一部分從向量空間的複習開始，繼而展開n維實空間的幾何、矩陣與投影。

第5–8章：譜理論；化為上三角形；化為三對角形；逆

矩陣理論的核心部分討論特徵值問題（譜理論）、把矩陣化為兩種特殊形式的方法，以及矩陣的逆。

第9–13章：凸性；分離超平面定理；線性不等式；線性規劃與博弈論；單純形法

這些章節從凸集出發，經過分離超平面定理和線性不等式，進入線性規劃、博弈論和單純形法。

第14–16章：偏導數（複習）；凸函式；非線性規劃

第一部分以偏導數的複習收尾，並由凸集轉向凸函式與非線性規劃。

第17–19章：積分過程；積分的運算；多重積分

高等微積分部分從積分開始：積分過程、積分的運算和多重積分。

第20–22章：微分方程與差分方程（複習）；拉普拉斯變換；線性常微分方程的級數解

接下來的幾章複習微分方程和差分方程，然後介紹拉普拉斯變換和線性常微分方程的級數解。

第23章：變分法

最後一章介紹變分法。

第三部分：部分習題的解答

全書最後是部分習題的詳細解答。

核心概念

第一部分：線性代數（第1–16章）

• 投影與譜理論：第4–5章。
• 化為三角形與三對角形：第6–7章。
• 凸性與分離超平面定理：第9–10章。
• 線性規劃、博弈論與單純形法：第12–13章。
• 凸函式與非線性規劃：第15–16章。

第二部分：高等微積分（第17–23章）

• 積分的運算與多重積分：第18–19章。
• 拉普拉斯變換：第21章。
• 常微分方程的級數解：第22章。
• 變分法：第23章。

評析

優點

• 嚴格與技巧的有意平衡。 劍橋大學出版社稱，作者在嚴格的理論方法與「食譜式」方法之間保持平衡，用具體而幾何的解釋，使沒有深厚數學訓練的學生也能讀懂。
• 最佳化與線性代數同在一卷。 目錄把矩陣理論與凸性、線性規劃、博弈論和非線性規劃結合起來，需要兩者的讀者不必在不同教材之間來回切換。
• 配有解答的材料。 出版社指出，書中例題和習題豐富，其中大部分有完整解答，第三部分彙集了部分習題的解答。
• 輕鬆的文風。 出版社稱這部教材文風親切、不拘一格；《美國數學月刊》稱它是「一本出色的參考書」。

侷限

• 偏重應用而非證明。 第1、14、20章是對先前內容的複習；劍橋稱本書對興趣在應用而非理論的學生有吸引力；想要純分析或代數課程那樣完整的證明式處理的讀者，應另找他書。
• 題材範圍有限。 第二部分涵蓋積分、微分方程、拉普拉斯變換和變分法；它不是關於偏微分方程或數值方法的一般課程，目錄中也沒有出現這些題目。
• 較早的教材。 本書出版於1990年（平裝本1991年1月），因此想要結合當代軟體的最佳化演算法處理的讀者，需要再配一本較新的書。

在課程中的定位

本書屬於數學書單中應用與最佳化的部分，其特點是把支撐性的線性代數和微積分與最佳化放在一起講。這是一本寫給已學過初等線性代數和微積分的應用領域學生的方法書。Ian Jacques 的《Mathematics for Economics and Business》是專為經濟與商科學生寫的書，Guenin、Könemann 和 Tunçel 的《A Gentle Introduction to Optimization》則從第一門線性代數課程出發，講線性、整數和非線性規劃。Chong、Lu 和 Żak 的《An Introduction to Optimization》以及 Boyd 和 Vandenberghe 的《Convex Optimization》更深入地講最佳化理論與演算法，因此 Ostaszewski 的第9–16章可作為它們的簡明預備。已經從 Guenin、Könemann 和 Tunçel 的書裡學過線性規劃的讀者，會發現第12–13章是對相關內容的又一種處理，帶有劍橋所說的幾何取向。Alain Goriely 的《Applied Mathematics: A Very Short Introduction》則是對應用數學家做什麼的非技術性概覽。

如何使用本書

本書適合已學過初等線性代數和微積分、專業為統計學、運籌學、電腦科學、計量經濟學和數理經濟學的本科二年級學生和研究生低年級學生。

• 線性代數與最佳化路徑： 按順序讀第1–16章；第9–13章可當作關於凸性和線性規劃的短課程。
• 閱讀次序： 全書分為線性代數（第1–16章）和高等微積分（第17–23章）；選擇與你專業相應的部分，並在讀新內容前用複習章節（第1、14、20章）溫習背景，例如在讀拉普拉斯變換和級數解之前先讀第20章。
• 練習： 做習題，並用第三部分的解答核對方法；由於許多解答是完整的，本書可用於自學。