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导读
引用
Goriely, A. (2018). Applied Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. Very Short Introductions.
章节概要
全书约 140 页，包括八章、一篇简短的尾声、延伸阅读书目和索引。每章标题都由一个俏皮的问题和一个点明本章例子的副标题组成。出版社把本书的目标描述为：简明而全面地展示应用数学这一领域及其与纯数学、科学和工程的关系——它在物理和工程中的早期成就、二战后发展为独立学科的过程，以及它在当今科学中的作用。出版时，作者任牛津大学数学建模讲席教授，并担任牛津工业与应用数学中心主任。
第1章：What's so funny 'bout applied mathematics? Modelling, theory, and methods（应用数学有什么好玩的？——建模、理论与方法）
开篇一章说明应用数学是什么：建立数学模型、支撑模型的理论，以及分析模型的方法。在此基础上，它界定了应用数学与周围的纯数学、科学和工程之间的关系。
第2章：Do you want to know a secret? Turkeys, giants, and atomic bombs（想知道一个秘密吗？——火鸡、巨人与原子弹）
本章围绕三个尺度迥异的例子展开：从烹饪火鸡，到巨人的体型，再到原子弹的能量。它们的共同线索是从物理量及其量纲出发进行推理，这种推理有时在求解任何方程之前就能给出答案。
第3章：Do you believe in models? Simplicity and complexity（你相信模型吗？——简单与复杂）
本章讨论模型是什么、应当包含多少细节，并权衡简单模型与复杂模型。
第4章：Do you know the way to solve equations? Spinning tops and chaotic rabbits（你知道怎样解方程吗？——旋转的陀螺与混沌的兔子）
模型写出来之后，就要求解它的方程。本章以陀螺的运动和一个呈现混沌的兔子种群模型为例。
第5章：What's the frequency, Kenneth? Waves, quakes, and solitons（频率是多少？——波、地震与孤子）
本章的主题是波：振动与频率、地震后在地球中传播的波，以及保持形状不变的孤立波——孤子。
第6章：Can you picture that? X-rays, DNA, and photos（你能想象吗？——X 射线、DNA 与照片）
本章转向图像：数学如何把 X 射线测量变成图像，如何进入 DNA 研究，以及照片如何被表示和处理。
第7章：Mathematics, what is it good for? Quaternions, knots, and more DNA（数学有什么用？——四元数、纽结与更多的 DNA）
这里方向反了过来：一些为自身而发展的数学，如四元数和纽结理论，后来找到了用途，包括用于 DNA 研究。
第8章：Where are we going? Networks and the brain（我们将走向何方？——网络与大脑）
最后一章展望较新的领域：网络，以及作者本人也从事研究的大脑建模。其后是一篇简短的尾声。
核心概念
第1–3章：应用数学做什么
- 数学建模：把关于世界的问题转化为数学问题，加以分析并解释答案。
- 理论与方法：第1章在模型之外列出的该学科另外两个组成部分。
- 量纲推理：利用物理量的单位和尺度估算答案，这是火鸡、巨人和原子弹三个例子的共同主题。
- 简单与复杂：在简单到可以分析的模型和详细到足够真实的模型之间进行取舍。
第4–5章：方程与波
- 求解方程：为模型产生的方程寻找精确解、近似解或数值解。
- 混沌：确定性系统（如种群模型）对初始状态极其敏感，以致无法进行长期预测的行为。
- 孤子：传播时形状不变的孤立波。
第6–8章：图像、意外的用途与新前沿
- 数学成像：重建和表示图像，从 X 射线扫描到数码照片。
- 四元数与纽结：源于纯数学、后来找到应用的结构。
- 网络：由相互连接的节点组成的集合，本书以它作为进入大脑建模的途径。
评析
优点
- 用极少篇幅展示整个领域。 在约 140 页中，本书从什么是建模讲起，经过量纲推理、方程和波，一直到成像、得到应用的纯数学，以及网络与大脑研究。
- 以具体例子为骨架。 每章副标题都点明了本章的例子（火鸡与原子弹、陀螺与兔子、X 射线与照片），因此每个思想都是通过问题而不是定义引入的。
- 认真对待与纯数学的联系。 第7章专门讨论后来变得有用的纯数学，出版社也强调本书关注纯数学与应用数学之间的关系。
- 出自一线应用数学家之手。 作者在力学、生物生长和大脑方面的研究，与展望学科走向的最后一章的主题相近。
局限
- 是概览，不是课程。 在这样的篇幅里，每个话题只能勾勒轮廓；书中没有习题，也不传授学生可以在作业中使用的技巧。
- 例子有所取舍。 各章偏重力学、波、成像和生物学。本课程其他多数书籍所讲的优化、统计和运筹学等应用数学领域，在目录中并未出现。
在课程中的定位
本书是本课程的总论：一本简短易读、介绍应用数学家在做什么的书，适合在读教材之前或同时阅读。它的主题是整个领域，而不是某一种技术。
课程中的其他书都是带习题的教材。Guenin、Könemann 和 Tunçel 的 A Gentle Introduction to Optimization 只需要线性代数，是优化方向最自然的第一本教材；Chong、Lu 和 Żak 的 An Introduction to Optimization 以及 Boyd 和 Vandenberghe 的 Convex Optimization 则在优化理论和算法上走得远得多。Ian Jacques 的 Mathematics for Economics and Business 和 Adam Ostaszewski 的 Advanced Mathematical Methods 介绍带有经济等方面应用的数学方法。Goriely 的书提供动机和全局图景；这些教材都不能取代它，它也不能取代其中任何一本。
如何使用本书
本书适合刚开始学习数学、物理或工程专业的学生，在纯数学和应用数学方向之间犹豫的学生，以及对建模感兴趣的普通读者。这套丛书面向一般读者，只假定读者具备中学数学基础。
可以分几次从头读完。第1–3章是核心，说明什么是建模，以及应用数学家如何思考尺度与简单性；第4–8章各自围绕自己的例子展开，可以按兴趣选读：动力学和波看第4、5章，成像看第6章，与纯数学的联系看第7章，当前研究方向看第8章。
想更有收获，可以把第2章的尺度论证用到自己挑选的例子上，并沿着延伸阅读书目深入一个感兴趣的话题。之后修读微分方程、数学方法或优化课程的学生，可以回到相关章节，提醒自己这些技术为何重要。