An Introduction to Numerical Analysis（数値解析入門）

引用

Süli, E., & Mayers, D. F. (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press.

章の要約

本書は14の章と2つの短い付録からなり、444ページです。序文で著者らは、本書がオックスフォードで長年にわたり学部の数学専攻生に行ってきた講義の印刷ノートから生まれたこと、現在教えられている範囲よりも広い範囲を扱っていること、大学数学課程の2年次の学生を対象としていることを説明しています。第2章は有限回の算術演算で解ける連立一次方程式を扱い、序文によれば、本書のそれ以外の部分では問題の解が無限列の極限として求められるので、アルゴリズムの出力は近似解になります。ケンブリッジの紹介文は、扱う問題を、関数と積分の近似、代数方程式・超越方程式・微分方程式・積分方程式の近似解法とし、全体を通して安定性、精度、信頼性、効率に注意を払うとしています。

第1章：Solution of Equations by Iteration（反復による方程式の解法）

38ページで、長いほうの章の1つです。序文が解を極限として述べているのに沿って、方程式の反復による解法から本書が始まります。

第2–3章：Solution of Systems of Linear Equations（連立一次方程式の解法）／Special Matrices（特殊な行列）

第2章（48ページ）は連立一次方程式を扱います。序文が、有限回の演算で正確に解ける唯一の問題として挙げているものです。第3章は特殊な行列についての短い章です。

第4–5章：Simultaneous Nonlinear Equations（連立非線形方程式）／Eigenvalues and Eigenvectors of a Symmetric Matrix（対称行列の固有値と固有ベクトル）

第4章は方程式の解法を連立非線形方程式へ広げます。第5章は46ページで最も長い章の1つで、対称行列の固有値問題に進みます。

第6–8章：Polynomial Interpolation（多項式補間）／Numerical Integration – I（数値積分 I）／Polynomial Approximation in the ∞-Norm（∞ノルムでの多項式近似）

第6章は多項式補間を導入します。第7章は数値積分に関する2つの章の最初のものです。第8章は、連続関数の∞ノルムでの最良多項式近似を調べます。

第9–11章：Approximation in the 2-Norm（2ノルムでの近似）／Numerical Integration – II（数値積分 II）／Piecewise Polynomial Approximation（区分的多項式近似）

第9章は、ノルムの選び方によって最良近似が変わることを出発点とし、そのため2ノルムでの最良近似は別に展開する必要があること、それが直交性と結びついているため、内積空間を思い出すことから始まることを述べます。第10章は数値積分の2つ目の章です。第11章は、これまでの大域的な構成（導入部はラグランジュ補間、エルミート補間、両ノルムでの最良近似を挙げています）と、低次多項式による区分的近似を対比させます。後者は n 次のスプラインで、小区間の端点を結び目（knot）とし、指定された滑らかさをもつものです。

第12–14章：Initial Value Problems for ODEs（常微分方程式の初期値問題）／Boundary Value Problems for ODEs（常微分方程式の境界値問題）／The Finite Element Method（有限要素法）

最後の3章は微分方程式に向かいます。第12章（最長の51ページ）は初期値問題、第13章は境界値問題を扱い、第14章は有限要素法で締めくくります。

付録

付録Aは実解析の結果を概観した4ページ、付録Bは WWW 資料の1ページの一覧です。その後に文献目録と索引が続きます。

主要概念

第1–5章：方程式と行列

• 反復による解法：解を数列の極限とする、第1章の方程式へのアプローチ。
• 安定性、精度、信頼性、効率：序文と出版社の紹介文が数値アルゴリズムの特質として挙げる4点。
• 対称行列の固有値問題：第5章の主題。

第6–11章：補間、近似、積分

• 補間と最良近似：ラグランジュ補間とエルミート補間、および∞ノルムと2ノルムでの最良近似。
• 内積空間と直交性：第9章の冒頭で思い出される枠組み。
• スプラインと結び目：第11章の区分的多項式近似。

第12–14章：微分方程式

• 初期値問題と境界値問題：第12章と第13章。
• 有限要素法：最終章。

批判的分析

長所

• 厳密さと読みやすさの両立が評価されている。 Eugene Allgower は、本書が「想定される読者にとって適切な水準の厳密さ」を備えていると書き、『Zentralblatt MATH』の書評は、本書を非常によい教科書で「きわめて注意深く書かれて」おり、数学専攻の2～3年次生に推薦できるとし、導入的な話題の選び方もよいと述べています。どちらの書評も出版社のページに引用されています。
• 講義から生まれた本。 『Internationale Mathematische Nachrichten』の書評は、学生がよく尋ねる質問に応えられるのは、本書がオックスフォードでの長年の講義から生まれたからだと説明し、『Mathematics Today』は読みやすく流れるようだと評しています。
• 動機づけのある近似の扱い。 第9章の冒頭は、最良近似がノルムに依存することを示して、2ノルムになぜ独自の理論が要るのかを説明し、第11章は区分的多項式を第6–9章の大域的な手法と対比させているので、新しい道具はいつも理由とともに導入されます。
• 現代的な手法への道筋。 補間と近似から微分方程式へと進む順序は、有限要素法で終わります。『Zentralblatt MATH』の書評は、本書に数学者についての歴史的な言及が多いことも付け加えています。

短所

• 解析学の素養が前提。 Allgower は、本書が「解析学の素養をもって臨む」学生に向いていると述べており、実解析の結果をまとめた付録Aはわずか4ページです。
• 実装についての記述が少ない。 目次にはプログラミングやソフトウェアの章がなく、付録Bは2003年刊の本に載った WWW 資料の1ページだけです。アルゴリズムをコードにしたい学生は、補助的な教科書か授業が必要です。
• 一部の課程の教科書よりも範囲が狭い。 偏微分方程式を表題とする章はなく、有限要素法が最後の章です。

コースにおける位置づけ

これは、数値解析の一覧の中で、数学的に厳密な学部向けの選択肢です。Burden、Faires、Burden の『Numerical Analysis』は、微積分の素養だけを必要とする学部向けの入門書で、数値微分や偏微分方程式を含む12章でより広い範囲を扱います。やさしい最初の1冊として向いており、収束と誤差の限界の証明を求める学生にとっては、Süli と Mayers が2回目の自然な読み物になります。Moler の『Numerical Computing with MATLAB』と Kong、Siauw、Bayen の『Python Programming and Numerical Methods』は、プログラミングを先に学ぶ入門書で、ここでの理論と組み合わせるのに適しています。Trefethen と Bau の『Numerical Linear Algebra』と Stoer と Bulirsch の『Introduction to Numerical Analysis』は大学院レベルの次の一歩で、前者は線形代数の深い扱い、後者は包括的な概説書です。

本書の使い方

本書は、実解析と線形代数の基礎をもつ数学専攻の2年次の学生を対象としており、数値アルゴリズムの動かし方だけでなく、なぜ動くのかを理解したい読者に向いています。

実際の進め方は次のとおりです。

• 中核（第1–2章、第6–7章、第12章）： 方程式の反復解法、連立一次方程式、補間、数値積分の最初の章、常微分方程式の初期値問題で、コンパクトな最初の課程になります。
• 線形代数と非線形系（第3–5章）： 時間が許せば取り上げます。対称行列の固有値問題を扱う第5章が、この3章のうちで最長です。
• 近似理論（第8–11章）： 最良近似、積分、スプラインについての2つ目のまとまりで、第6–7章の背後の理論を知りたい読者に向いています。
• 発展（第13–14章）： 境界値問題と有限要素法は、2学期目または独習に向いています。

読み始める前に付録Aを復習し、各手法についてプログラミングの練習を組み合わせて、本書が論じる安定性と精度の問題を確かめてください。