An Introduction to Numerical Analysis（数值分析导论）

引用

Süli, E., & Mayers, D. F. (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press.

章节概要

全书共十四章和两个简短的附录，444页。在前言中，作者说明本书源自多年来在牛津为本科数学专业学生讲课所用的印刷讲义，范围比目前讲授的内容更广，面向大学数学课程二年级的学生。第2章讨论线性方程组，它可以在有限次算术运算内求解；前言说，在本书的其余部分，问题的解被看作无穷序列的极限，因此算法的输出是近似解。剑桥的介绍把所涉及的问题列为函数与积分的逼近，以及代数方程、超越方程、微分方程和积分方程的近似求解，并在全书中关注稳定性、精度、可靠性和效率。

第1章：Solution of Equations by Iteration（用迭代法解方程）

共38页，是较长的章节之一。与前言把解看作序列极限的说法一致，本书以方程的迭代求解开篇。

第2–3章：Solution of Systems of Linear Equations（线性方程组的求解）；Special Matrices（特殊矩阵）

第2章（48页）处理线性方程组，这是前言指出的唯一能在有限次运算内精确求解的问题。第3章是一个关于特殊矩阵的短章。

第4–5章：Simultaneous Nonlinear Equations（联立非线性方程）；Eigenvalues and Eigenvectors of a Symmetric Matrix（对称矩阵的特征值与特征向量）

第4章把方程求解推广到联立非线性方程。第5章共46页，是最长的几章之一，转向对称矩阵的特征值问题。

第6–8章：Polynomial Interpolation（多项式插值）；Numerical Integration – I（数值积分 I）；Polynomial Approximation in the ∞-Norm（∞范数下的多项式逼近）

第6章引入多项式插值。第7章是关于数值积分的两章中的第一章。第8章研究连续函数在∞范数下的最佳多项式逼近。

第9–11章：Approximation in the 2-Norm（2范数下的逼近）；Numerical Integration – II（数值积分 II）；Piecewise Polynomial Approximation（分段多项式逼近）

第9章从范数的选择会改变最佳逼近这一观察出发，因此2范数下的最佳逼近必须单独发展；它与正交性相联系，所以从回顾内积空间开始。第10章是数值积分的第二章。第11章把之前的全局构造（其引言提到拉格朗日插值、埃尔米特插值以及两种范数下的最佳逼近）与用低次多项式作分段逼近相对比：n次样条，以子区间的端点为节点（knot），并具有规定的光滑性。

第12–14章：Initial Value Problems for ODEs（常微分方程初值问题）；Boundary Value Problems for ODEs（常微分方程边值问题）；The Finite Element Method（有限元法）

最后三章转向微分方程。第12章（最长，共51页）处理初值问题，第13章处理边值问题，第14章以有限元法收尾。

附录

附录A是对实分析结果的四页概述；附录B是一页的万维网资源列表。其后是参考文献和索引。

核心概念

第1–5章：方程与矩阵

• 迭代求解：第1章处理方程的方法，解是序列的极限。
• 稳定性、精度、可靠性与效率：前言和出版社介绍突出强调的数值算法的四个品质。
• 对称矩阵的特征值问题：第5章的主题。

第6–11章：插值、逼近与积分

• 插值与最佳逼近：拉格朗日插值与埃尔米特插值，以及∞范数和2范数下的最佳逼近。
• 内积空间与正交性：第9章开头回顾的框架。
• 样条与节点：第11章的分段多项式逼近。

第12–14章：微分方程

• 初值问题与边值问题：第12章和第13章。
• 有限元法：最后一章。

评析

优点

• 因兼具严格性与可读性而受到称赞。 Eugene Allgower 写道，本书“对目标读者而言有恰当的严格程度”；《Zentralblatt MATH》的书评称它是一本很好的教科书，“写得非常认真”，可推荐给数学专业二、三年级学生，并说作者对入门主题的选择很得当。两则书评都被出版社页面引用。
• 源自课堂。 《Internationale Mathematische Nachrichten》的书评认为，本书之所以能回答学生常问的问题，是因为它来自多年的牛津讲课；《Mathematics Today》称它易读、行文流畅。
• 有动机铺垫的逼近处理。 第9章开头通过说明最佳逼近取决于范数，解释了为什么2范数需要单独的理论；第11章则把分段多项式与第6–9章的全局方法相对照，因此每一种新工具的引入都有理由。
• 通向现代方法的路径。 从插值和逼近到微分方程的顺序，以有限元法结束。《Zentralblatt MATH》的书评还补充说，本书有许多关于数学家的历史性引述。

局限

• 需要分析学基础。 Allgower 说本书适合“带着一些分析学背景”的学生，而概述实分析结果的附录A只有四页。
• 很少涉及实现。 目录中没有关于编程或软件的章节，附录B只是2003年出版的书中的一页网络资源。想把算法写成代码的学生需要配套教材或课程。
• 范围比某些课程教材窄。 没有以偏微分方程命名的章节；有限元法是最后一章。

在课程中的定位

这是数值分析书单中数学上最严格的本科选择。Burden、Faires 和 Burden 的《Numerical Analysis》是只需微积分基础的本科入门书，十二章的范围更广，包括数值微分和偏微分方程；它适合作为较温和的第一本书，而 Süli 和 Mayers 则是想了解收敛性和误差界证明的学生自然的第二遍读物。Moler 的《Numerical Computing with MATLAB》和 Kong、Siauw、Bayen 的《Python Programming and Numerical Methods》是先学编程的入门书，与这里的理论配合很好。Trefethen 和 Bau 的《Numerical Linear Algebra》以及 Stoer 和 Bulirsch 的《Introduction to Numerical Analysis》是研究生水平的下一步：前者深入讲线性代数，后者是一部全面的论著。

如何使用本书

本书面向有实分析和线性代数基础的数学专业二年级学生，适合想弄清数值算法为什么有效、而不仅仅是怎么运行的读者。

实用的学习安排如下：

• 核心（第1–2章、第6–7章、第12章）： 方程的迭代解法、线性方程组、插值、数值积分的第一章，以及常微分方程初值问题，构成一门紧凑的入门课程。
• 线性代数与非线性方程组（第3–5章）： 时间允许时学习；讲对称矩阵特征值问题的第5章是这三章中最长的。
• 逼近理论（第8–11章）： 关于最佳逼近、积分和样条的第二个板块，适合想了解第6–7章背后理论的读者。
• 进阶（第13–14章）： 边值问题和有限元法适合第二学期或自学。

开始之前请先复习附录A，并为每种方法配上编程练习，亲眼看看书中讨论的稳定性和精度问题。