01 / 导读
导读
引用
Liebeck, M. W. (2015). A Concise Introduction to Pure Mathematics (4th ed.). CRC Press.
章节概要
背景与主旨
马丁·利贝克（Martin Liebeck）任教于伦敦帝国理工学院，他为具有扎实高中基础的学生写了这本书，作为大学数学的初次一瞥。出版社称，本书介绍纯数学中一些最基本、最美妙的思想：既涵盖标准内容，也包括在这一层次通常见不到的主题，如三次方程的求解、关于立体的顶点、棱和面数目的欧拉公式与五种柏拉图立体、用素数对秘密信息编码和解码、比较无穷集合的大小，以及关于极限与连续函数的严格理论。
第四版增加了两章，通过群论介绍抽象代数，并新增了关于不等式、计数方法、容斥原理和欧拉函数的内容，还有大量新习题，奇数题的解答附在书后。全书共二十六个短章，使它成为一系列相对独立的数学片段，而不是一条持续展开的论证主线。
第1章：Sets and Proofs（集合与证明）
开篇一章介绍集合的语言和构造数学论证的基本方法，全书其余部分都要用到。
第2–7章：数与方程
第2章“数系”考察整数、有理数和实数及其性质。第3章“小数”讨论小数表示，包括循环小数与有理数的联系。第4章涵盖 n 次方根与有理数幂，第5章是不等式，第6章是复数，第7章是多项式方程，其中三次方程的求解理论是本书的一个特色。
第8–9章：归纳法；欧拉公式与柏拉图立体
第8章阐述数学归纳法。第9章利用把立体的顶点、棱、面数联系起来的欧拉公式，证明柏拉图立体恰有五种。
第10–15章：整数与密码
第10章回到整数及其整除性质。第11、12章讨论素因数分解及关于素数的进一步结果，第13、14章讨论整数的同余。第15章“秘密密码”把素数和同余应用于秘密信息的编码和解码。
第16–21章：计数、集合、函数与无穷
第16章“计数与选取”介绍计数方法。第17章回到集合，第18章引入等价关系。第19章讨论函数，第20章讨论置换。第21章“无穷”说明如何比较无穷集合的大小。
第22–24章：分析
这三章对分析做初步的严格处理：界（第22章）、极限（第23章）和连续性（第24章）。
第25–26章：群
第四版增加的这两章通过群来介绍抽象代数，并用例子展示抽象推理的运作方式。
书末内容
全书以奇数题解答、延伸阅读书目和符号索引结束。
核心概念
第1–9章
- 证明与集合：后面各章所依赖的语言和方法。
- 数系：整数、有理数、实数和复数。
- 多项式方程：包括三次方程的求解。
- 归纳法：证明关于所有自然数的命题。
- 欧拉公式：顶点、棱和面之间的关系，限定了柏拉图立体的可能数目。
第10–21章
- 素因数分解：把整数分解为素数。
- 同余：用余数做算术，在“秘密密码”一章中使用。
- 计数：计数排列与选取的方法，包括容斥原理。
- 等价关系与函数：组织集合的结构。
- 比较无穷集合：说明两个无穷集合何时大小相同的方法。
第22–26章
- 界、极限与连续性：分析学的基础。
- 群：抽象代数的基本结构。
评析
优点
- 易于入门。 出版社说，本书适合所有具备扎实高中数学基础的学生，因此适合向大学纯数学过渡。
- 覆盖面广，且有不寻常的主题。 一本书里涵盖数、代数、几何、计数、无穷、分析和群，并包含三次方程、柏拉图立体等在这一层次不常见的主题。
- 章节短小。 全书约320页、二十六章，平均每章大约十几页，读者可以分小块、按不同顺序消化材料。
- 习题附解答。 第四版有大量新习题，并给出奇数题的解答，适合自学。
局限
- 广度重于深度。 一本书里主题繁多，没有一个得到长篇论述。分析部分有三章，代数只有两章，希望系统学完其中任何一门课程的读者需要另备教材。
- 不只是讲证明方法的书。 第1章以及关于归纳法和集合的章节引入了证明，但本书是对数学主题的巡礼，而不是对逻辑与证明技巧的系统专著。
- 应用较少。 书中有一章关于秘密密码，但主要内容是纯粹为了数学本身的纯数学。
在课程中的定位
在逻辑、集合与证明类的书中，利贝克的这本是对纯数学的广泛巡礼。Hammack 的 Book of Proof 是免费的证明方法入门书，Velleman 的 How to Prove It 则展开命题与量词的逻辑，以及集合、关系和函数的语言。这两本在证明方面都比利贝克更系统，而利贝克把证明放在对多种主题的概览之中。Eccles 的 An Introduction to Mathematical Reasoning 和 Allenby 的 Numbers and Proofs 也是关于数学推理和数系的书，可与利贝克并用，深入这些主题。
Leary 与 Kristiansen 的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 和 Enderton 的 A Mathematical Introduction to Logic 是形式逻辑方面的书。它们超出了利贝克第1章的范围，适合在熟悉数学证明之后想要研究逻辑本身的读者。
如何使用本书
本书面向一年级本科生，以及希望了解大学纯数学是什么样子、具有扎实高中基础且有求知欲的学生。由于附有奇数题解答，它也适合自学。
一个好办法是依序读第1–9章，它们奠定证明、数和归纳法的基础，然后按需要在后面几块中选择：第10–15章讲数论和密码，第16–21章讲计数、函数和无穷，第22–24章讲分析，第25–26章讲群。即将学习第一门分析或代数课程的读者，应在开课前读相应的部分。
边读边做习题，用解答核对奇数题，偶数题则尝试独立完成。书末的延伸阅读书目提示了在某个主题引起兴趣之后可以往哪里继续。