應用動力學基礎

引用

Williams, J. H., Jr. (1996). Fundamentals of Applied Dynamics. John Wiley & Sons.

章節概要

全書共九章和一組附錄，共854頁。作者在序言中提出的總體思路，是把牛頓動力學（直接法，即動量法）與拉格朗日動力學（間接法，即變分法或功能法）統一起來。動量法主要作為對讀者已學內容的整體視角來處理，更長的篇幅用於拉格朗日方法。書中先建立運動方程再求解，主要針對線性力學系統，同時也包括電氣系統和機電系統。

第1章：我們在宇宙中的位置

這是一章歷史性的內容，序言稱之為作者個人的、不拘一格的視角。內容涉及古代資料、古埃及和美索不達米亞的天文學與數學、其他早期文明的數學、希臘化時代、天體運動與地面運動的統一，以及動力學中的變分原理。作者建議將本章作為閱讀材料佈置或略讀，對歷史感興趣的讀者也可以把它當作參考。

第2章：設計、建模與運動方程的建立

本章有三個主要部分：引言、設計與建模（設計過程、建模過程以及本書較為有限的目標）、建立運動方程的直接法與間接法。序言指出，本章強調分析的技術目標是工程設計，並強調任何方程的建立都必須滿足三項要求：運動學的、力動力學的和本構的。

第3章：運動學

本章包括位置、速度和加速度，剛體的平面運動學（含平面運動的型別和關於有限轉動的提醒），向量在旋轉座標系中的時間變化率，利用中間座標系的運動學分析，以及運動學表示式的推廣。序言把它介紹為一種方法不同尋常的三維處理。

第4章：質點系的動量表述

這是直接法。本章給出牛頓定律、質點、線動量與力、慣性參考系和萬有引力定律，接著講質點的力矩與角動量，然後給出兩類質點動力學問題中建立方程的例子。序言說，教師可以在這一章上花一週或更久，也可以略去而不影響連貫性。

第5章：質點系的變分表述

這是間接法。各節包括功與狀態函式（含能量與餘能）、廣義座標、容許變分、自由度、約束與完整性、變分原理、完整系統的運動方程、功能關係，以及拉格朗日動力學的性質。序言以哈密頓原理為基本原則，拉格朗日方程是其推論，並指出表5-1總結的四步程式。

第6章：含剛體的系統動力學

兩種表述都推廣到擴充套件物體。內容包括動量原理與牛頓–尤拉方程、慣性張量、平行軸定理、主方向與主慣性矩、用直接法處理剛體動力學、剛體的拉格朗日函式（動餘能函式與勢能函式），以及含平面運動剛體的系統的運動方程。

第7章：電氣與機電系統的動力學

把拉格朗日方法應用於電路和換能器：建立電網路的運動方程，電路元件的本構關係，用廣義電荷變數和廣義磁鏈變量表示的哈密頓原理與拉格朗日方程，可動極板電容器和可動鐵芯電感器的本構關係，以及機電系統。

第8章：線性集中引數系統的振動

內容包括單自由度一階和二階系統的響應（自由響應、階躍響應、斜坡響應、諧波響應，由靜撓度求固有頻率，對數衰減率，能量損耗）、二自由度系統（固有模態、對初始條件的響應、諧波響應）以及非線性系統的穩定性。序言指出，復變數與實變數方法並行引入。

第9章：連續系統的動力學

一維連續體的運動方程：杆的縱向運動、軸的扭轉、輸電線和梁的彎曲運動。還有用分離變數法求固有模態、二階和四階系統的本徵函式，以及對初始條件和諧波激勵的響應，均配有例子。

附錄

目錄所列的附錄涵蓋有限轉動、一般運動學分析、質點系的動量原理、變分法的初等結果、哈密頓原理的各種表述、達朗貝爾原理的拉格朗日形式、電磁理論及近似的複習、複數及復變數與三角學的常用公式、二自由度系統同步運動的時間函式、非線性系統的穩定性分析，以及應變能函式。序言指出，初次學習時幾乎不需要用到附錄，其中許多內容超出本科生迫切需要的範圍。

核心概念

第1–3章：視角、建模與運動學

• 三項基本要求：任何運動方程的建立都必須是運動學的、力動力學的和本構的。
• 直接法與間接法：對同一問題，基於動量的表述與基於變分或功能的表述。
• 旋轉座標系與中間座標系中的運動學：跟蹤向量從旋轉座標系看去如何變化。

第4–6章：運動方程的建立

• 動量原理與牛頓–尤拉方程：質點和擴充套件物體的直接法。
• 能量與餘能、廣義座標：建立拉格朗日方程所用的量。
• 哈密頓原理與拉格朗日方程：得到完整系統運動方程的變分途徑。
• 慣性張量：刻畫剛體質量分佈的量。

第7–9章：擴充套件與響應

• 機電系統：用同一變分框架處理集中引數電路和換能器。
• 自由響應與受迫響應：一階、二階以及二自由度的線性系統。
• 連續系統：用固有模態求解杆、軸、輸電線和梁。

評析

優點

• 結構有意為之。 序言描述了一套一致的做法：三項基本要求、間接法的四步程式，以及逐步變難的結構化例題，並配有總結表和流程圖。
• 兩種方法並行展開。 第4章和第5章分別介紹直接法和間接法，第6章把兩者都推廣，讀者可以在同一問題上比較兩種表述。
• 範圍比標準動力學課程更寬。 書中包括電氣和機電系統以及連續系統，並把這套表述延伸到振動。
• 兼顧不同層次。 序言給出了課程路線：一個學季的課程學第1–4章或5章，一個學期學第1–6章，全年學第1–9章；並把習題分成三類：初級的（約六分之一）、工科二年級水平的（約一半）和更難、常強調設計的（其餘）。

侷限

• 話題有所取捨。 作者列出了寫過草稿但捨去的話題，其中有含尤拉角和陀螺的三維剛體動力學、軌道動力學、非完整系統、電動機和發電機、瑞利原理和傅立葉分析。
• 建模內容有限。 序言指出，書中關於物理系統定量建模的內容很少，比早期草稿有所削減。
• 不拘一格的文風。 作者表明，措辭的重複以及正文中對形式化數學的淡化都是有意為之。喜歡以公式為主、依賴題型的讀者，可能不習慣這種強調方程建立的做法。
• 以線性系統為主。 求解集中於線性力學系統，非線性系統主要出現在第8章的穩定性分析中。

在課程中的定位

在這門靜力學與動力學課程中，Williams是更偏理論的動力學教材。Hibbeler的 Engineering Mechanics: Statics 和Meriam與Kraige的 Engineering Mechanics: Dynamics 講授求解工程問題所用的向量、力的平衡、能量和動量；Williams並不取代它們，而是從直接法和拉格朗日表述的角度處理同一領域。Bird和Ross的 Mechanical Engineering Principles 是面向剛開始學工程的讀者的友好入門，OpenStax的 University Physics Volume 1 則提供Williams假定讀者已從第一門物理課中獲得的基於微積分的力學基礎。

Rao的 Mechanical Vibrations 是詳細的振動教材，涵蓋單自由度和多自由度系統、測量與控制。Williams的第8章和第9章從書中前面建立的運動方程的角度，對振動和連續系統作較短的處理，因此對專門的振動課程來說，Rao是自然的後續讀物。

如何使用本書

序言稱先修要求不高：包括向量分析在內的微積分、使用微積分的第一門物理課，並建議學習（可同時修讀）微分方程和固體力學課程。讀者物件是本科生、研究生以及執業工程師，他們或想要一個易於入手的應用動力學入門，或想通過附錄獲得對其理論基礎的連貫認識。

實用的安排：

• 第一門課程： 第1–4章或5章，其中最重視第3章和第5章。第1章可作背景閱讀；若熟悉動量原理，第4章可快速複習。
• 擴充套件的力學課程： 加上第6章學習剛體，然後根據對機電系統、振動或連續體的興趣，選讀第7、8或9章的部分內容。
• 偏理論的讀者： 結合第3章和第5章，使用關於有限轉動、變分法和哈密頓原理的附錄。

只要可能，就用牛頓法和拉格朗日法兩種途徑解同一個問題，因為這種比較正是本書的要點。章末習題可按類別順序，從初級的到涉及設計的依次練習。