応用動力学の基礎

引用

Williams, J. H., Jr. (1996). Fundamentals of Applied Dynamics. John Wiley & Sons.

章の要約

本書は9章と一連の付録からなり、854ページある。著者の序文が示す全体の考え方は、ニュートン力学（直接的な、すなわち運動量によるアプローチ）とラグランジュ力学（間接的な、すなわち変分あるいは仕事・エネルギーによるアプローチ）の統一である。運動量によるアプローチは、読者がすでに学んだ内容の見通しを与えるものとして主に扱われ、より長い記述はラグランジュのアプローチに割かれている。運動方程式は定式化されたのち、主に線形の力学系について解かれ、電気系・電気機械系も含まれる。

第1章：宇宙における私たちの位置

歴史の章で、序文は著者独自の型にはまらない個人的な視点だと述べている。古代の資料、古代エジプトとメソポタミアの天文学・数学、他の初期文明の数学、ヘレニズム時代、天上の運動と地上の運動の統一、動力学における変分原理を扱う。著者は、この章を読む課題にするか、斜め読みにすることを勧めており、歴史に関心のある読者の参考にもなる。

第2章：設計、モデル化、運動方程式の定式化

この章は、導入、設計とモデル化（設計の過程、モデル化の過程、本書のより控えめな目標）、運動方程式の定式化における直接的アプローチと間接的アプローチの三つの主要な節からなる。序文によれば、解析の技術的な目標は工学設計であること、そしてどの定式化も運動学的、力動学的、構成的という三つの要件を満たさなければならないことが強調される。

第3章：運動学

位置、速度、加速度、剛体の平面運動学（平面運動の種類と有限回転についての注意を含む）、回転座標系でのベクトルの時間変化率、中間座標系を用いた運動学的解析、運動学的表現の一般化を扱う。序文は、これを珍しい取り組み方の三次元的な扱いとして紹介している。

第4章：質点系の運動量による定式化

直接的アプローチである。ニュートンの法則、質点、線運動量と力、慣性系、万有引力の法則を示し、続いて質点のトルクと角運動量、そして二種類の質点力学の問題における定式化の例を扱う。序文によれば、教員はこの章に1週間以上をかけても、連続性を損なわずに省いてもよい。

第5章：質点系の変分による定式化

間接的アプローチである。仕事と状態関数（エネルギーと補エネルギーを含む）、一般化座標、許容変分、自由度、拘束とホロノミック性、変分原理、ホロノミック系の運動方程式、仕事・エネルギー関係、ラグランジュ力学の本質を扱う。序文では、ハミルトンの原理を基本原理とし、ラグランジュ方程式はその帰結とされ、表5-1にまとめられた4段階の手順が指摘されている。

第6章：剛体を含む系の力学

二つの定式化を拡張物体へ広げる。運動量の原理とニュートン・オイラー方程式、慣性テンソル、平行軸の定理、主軸と主慣性モーメント、直接的アプローチによる剛体の力学、剛体のラグランジアン（運動補エネルギーとポテンシャルエネルギーの関数）、平面運動をする剛体を含む系の運動方程式を扱う。

第7章：電気系および電気機械系の力学

ラグランジュ的アプローチを回路とトランスデューサに適用する。電気回路網の運動方程式の定式化、回路素子の構成関係、一般化電荷と磁束鎖交の変数を用いたハミルトンの原理とラグランジュ方程式、可動板コンデンサと可動鉄心インダクタの構成関係、電気機械系を扱う。

第8章：線形集中定数系の振動

1自由度の1次系と2次系の応答（自由応答、ステップ応答、ランプ応答、調和応答、静たわみによる固有振動数、対数減衰率、エネルギー損失）、2自由度系（固有モード、初期条件に対する応答、調和応答）、非線形系の安定性を扱う。序文によれば、複素変数は実変数の方法と並べて導入される。

第9章：連続体系の力学

一次元連続体の運動方程式：棒の縦運動、軸のねじり、電力伝送線、はりの曲げ運動。変数分離による固有モード、2次と4次の系の固有関数、初期条件および調和励振に対する応答を、それぞれ例を用いて扱う。

付録

目次に挙げられた付録は、有限回転、一般的な運動学的解析、質点系の運動量の原理、変分法の初等的結果、ハミルトンの原理の諸定式化、ダランベールの原理のラグランジュ形式、電磁気理論と近似の復習、複素数と複素変数・三角法の有用な公式、2自由度系の同期運動の時間関数、非線形系の安定性解析、ひずみエネルギー関数を扱う。序文によれば、最初に学ぶときに必要な付録は少なく、その内容の多くは学部生にとって差し迫って必要な範囲を超えている。

主要概念

第1–3章：見通し、モデル化、運動学

• 三つの基本要件：運動方程式のどの定式化も、運動学的、力動学的、構成的でなければならない。
• 直接的アプローチと間接的アプローチ：同じ問題に対する、運動量による定式化と、変分あるいは仕事・エネルギーによる定式化。
• 回転座標系と中間座標系での運動学：回転座標系から見たときにベクトルがどう変化するかを追うこと。

第4–6章：運動方程式の定式化

• 運動量の原理とニュートン・オイラー方程式：質点と拡張物体に対する直接的アプローチ。
• エネルギーと補エネルギー、一般化座標：ラグランジュ方程式の定式化に用いる量。
• ハミルトンの原理とラグランジュ方程式：ホロノミック系の運動方程式への変分による道筋。
• 慣性テンソル：剛体の質量分布を特徴づける量。

第7–9章：拡張と応答

• 電気機械系：集中定数の回路とトランスデューサを同じ変分の枠組みで扱う。
• 自由応答と強制応答：1次系、2次系、および2自由度の線形系。
• 連続体系：棒、軸、伝送線、はりを固有モードによって解く。

批判的分析

長所

• 意図的な構成。 序文は一貫した方式を述べている。三つの基本要件、間接的アプローチの4段階の手順、そして次第に難しくなる構造化された例であり、まとめの表やフローチャートも備える。
• 二つのアプローチを並べて展開する。 第4章と第5章が直接的・間接的アプローチを示し、第6章が両方を拡張するので、同じ問題で定式化を比較できる。
• 標準的な動力学の科目より広い範囲。 電気系・電気機械系と連続体系を含み、定式化を振動へと進める。
• 異なるレベルへの対応。 序文は、4半期の科目なら第1–4章または5章、1学期なら第1–6章、通年なら第1–9章という履修の道筋を示す。また問題を三つに分け、初歩的なもの（約6分の1）、工学部2年生レベルのもの（約半分）、より難しく設計を強調することが多いもの（残り）とする。

短所

• 扱う話題が選別されている。 著者は、草稿には書いたが外した話題を挙げており、オイラー角とジャイロスコープを伴う三次元剛体力学、軌道力学、非ホロノミック系、電動機と発電機、レイリーの原理、フーリエ解析などがある。
• モデル化は限られる。 序文によれば、物理系の定量的モデル化についてはごくわずかしか述べておらず、初期の草稿より縮小された。
• 型にはまらない文体。 著者は、言い回しの反復と、本文での形式的数学の抑制が意図的であると述べている。公式中心で問題の型に頼る進め方を好む読者には、定式化を重視する姿勢が見慣れないかもしれない。
• 主に線形系。 解は線形の力学系に集中しており、非線形系は主に第8章の安定性解析に現れる。

コースにおける位置づけ

この静力学・動力学コースの中で、Williamsは理論志向の強い動力学の教科書である。Hibbelerの Engineering Mechanics: Statics とMeriamとKraigeの Engineering Mechanics: Dynamics は、工学の問題を解くためのベクトル、力のつり合い、エネルギー、運動量を扱う。Williamsはそれらに取って代わるものではなく、同じ領域を直接的およびラグランジュ的な定式化から取り上げる。BirdとRossの Mechanical Engineering Principles は工学を学び始める読者向けの学生に優しい入口であり、OpenStaxの University Physics Volume 1 は、Williamsが最初の物理の科目から前提とする微積分ベースの力学を補う。

Raoの Mechanical Vibrations は、1自由度・多自由度系、測定、制御を扱う詳細な振動の教科書である。Williamsの第8章と第9章は、本書の前半で定式化した運動方程式の観点から振動と連続体系を短く扱うので、専門的な振動の科目ではRaoが自然な次の一冊となる。

本書の使い方

序文は、予備知識をわずかなものとしている。ベクトル解析を含む微積分、微積分を用いる最初の物理の科目、そして（同時履修でもよい）微分方程式と固体力学の科目が推奨される。対象は、応用動力学の入りやすい入門、あるいは付録を通じてその理論的基礎の一貫した見方を求める、学部生・大学院生・実務技術者である。

実践的な進め方：

• 最初の科目： 第1–4章または5章。第3章と第5章に最も力を入れる。第1章は背景として読み、運動量の原理に慣れていれば第4章は手早く復習する。
• 力学を広げる科目： 剛体のために第6章を加え、電気機械系、振動、連続体のどれに関心があるかに応じて、第7、8、9章の一部を選ぶ。
• 理論志向の読者： 第3章と第5章とあわせて、有限回転、変分法、ハミルトンの原理に関する付録を使う。

可能なときは、同じ問題をニュートンの方法とラグランジュの方法の両方で解くこと。その比較こそが本書の要点である。章末問題は、初歩的なものから設計にかかわるものまで、区分の順に取り組むとよい。