量子力学入門

引用

Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.

章の要約

第3版は12の章を二つの部に分け、線形代数の付録を付けた約500ページの本である。第I部（第1〜6章）は基本的な理論、第II部（第7〜12章）は近似法、応用、そして基礎についての最後の考察をまとめている。問題は節の終わりと章の終わりにあり、星印で難易度が示されている。

第1章：波動関数

シュレーディンガー方程式、波動関数の統計的解釈、離散変数と連続変数の確率、規格化、運動量、不確定性原理。背景を述べる唯一の章であり、意味についてのより深い問いは序文によって最後に回されている。

第2章：時間に依存しないシュレーディンガー方程式

定常状態と標準的な解ける問題。無限に深い井戸型ポテンシャル、調和振動子（代数的方法と解析的方法）、自由粒子、束縛状態と散乱状態を伴うデルタ関数ポテンシャル、有限の深さの井戸型ポテンシャル。

第3章：形式論

ヒルベルト空間、観測量とエルミート演算子、確定状態、離散スペクトルと連続スペクトルをもつ固有関数、一般化された統計的解釈、一般化された不確定性原理（エネルギーと時間の形も含む）、そしてディラック記法によるベクトルと演算子。

第4章：3次元の量子力学

球座標でのシュレーディンガー方程式、水素原子とそのスペクトル、角運動量、スピン（スピン1/2、磁場中の電子、角運動量の合成）、そして最小結合とアハラノフ・ボーム効果を含む電磁相互作用。

第5章：同種粒子

2粒子系、ボース粒子とフェルミ粒子、交換力、スピンと一般化された対称化原理。原子（ヘリウムと周期表）、固体（自由電子気体とバンド構造）。

第6章：対称性と保存則

第3版で新しく加わった章で、主にSchroeterが執筆した。空間の変換、並進演算子と並進対称性、保存則、パリティとその選択則、回転対称性、縮退、スカラー演算子とベクトル演算子の回転に関する選択則、そして時間の並進とハイゼンベルク描像。

第7章：時間に依存しない摂動論

縮退のない摂動論と縮退のある摂動論。続いて水素への応用として、微細構造（相対論的補正とスピン・軌道相互作用）、弱い磁場・強い磁場・中間の磁場でのゼーマン効果、超微細分裂。

第8章：変分原理

変分法の理論。続いてヘリウムの基底状態、水素分子イオン、水素分子。

第9章：WKB近似

「古典的」領域、トンネル効果、接続公式。

第10章：散乱

古典的および量子的散乱理論、部分波解析、位相のずれ、そしてボルン級数を含むボルン近似。

第11章：量子ダイナミクス

2準位系と時間に依存する摂動論、正弦的な摂動、吸収・誘導放出・自然放出とアインシュタインのA係数・B係数、選択則、フェルミの黄金律、そして断熱近似。断熱近似は、前の版で独立した章だったものを取り込んでいる。

第12章：あとがき

EPRのパラドックス、ベルの定理、混合状態と密度行列、複製不可能定理、シュレーディンガーの猫。

付録：線形代数

ベクトル、内積、行列、基底の変換、固有ベクトルと固有値、エルミート変換。

主要概念

第1〜3章：波動関数と形式論

• 統計的解釈：波動関数の絶対値の2乗が確率密度を与える。
• 定常状態：エネルギーが確定した変数分離解で、第2章の解ける例の土台になる。
• エルミート演算子と固有値：観測量の数学的な形と、その測定値として可能なもの。
• 一般化された不確定性原理：任意の二つの観測量の不確かさの積に対する下限。

第4〜6章：3次元、同種粒子、対称性

• 角運動量とスピン：軌道角運動量と内在的な角運動量、およびその合成。
• ボース粒子とフェルミ粒子：同種粒子の対称状態と反対称状態。
• 対称性と保存：並進、パリティ、回転と、そこから導かれる選択則。

第7〜11章：近似法とダイナミクス

• 摂動論：厳密に解ける系への小さな補正。
• 変分原理：試行波動関数による基底状態エネルギーの上限。
• WKB近似：トンネル効果とゆっくり変化するポテンシャルの半古典的な扱い。
• ボルン近似と部分波：散乱振幅を計算する二つの方法。
• フェルミの黄金律：摂動が引き起こす遷移の割合。

第12章：基礎

• ベルの定理とEPRのパラドックス：量子的な相関が局所的な隠れた変数では再現できないという議論。
• 密度行列：混合状態と部分系の記述。

批判的分析

長所

• 目的が明確。 著者は、本書の目的は「量子力学のやり方を教えること」であるとして、解釈の問題はあとがきに回している。待ちきれない読者は、第1章を読んだ直後にあとがきを読んでもよい。
• 柔軟な二部構成。 第I部が中核の理論、第II部が近似法の道具箱である。序文によれば、二つの部は印刷された順序で学ぶ必要はなく、たとえば第2章の直後に摂動論を扱うことも提案されている。本書は1学期の課程（主に第I部）にも通年の課程にも合う。
• 段階付きの問題。 序文は問題を星印で評価し（星1つは必須、星2つはより難しいか周辺的、星3つは並外れて難しい）、コンピューターが必要な問題にも印を付けている。本文の例題が通常より少ないため、問題が実質的な教育内容を担っている。
• 引き締まった第3版。 対称性についての新しい第6章、固体物理への新しい応用、時間に依存するポテンシャルの統合的な扱いが加えられる一方、断熱近似の章と統計力学の内容は、本が「太らない」ように削られた。

短所

• 例題が少ない。 著者は、例題が通常より少なく重要な内容が問題に回されているという読者の指摘を認めている。独習者は問題を解く必要があり、解答集は教員にしか提供されない。
• 数学の要求。 序文は、ルジャンドル、エルミート、ラゲールの多項式、球面調和関数、ベッセル関数とエアリー関数、ヒルベルト空間、クレブシュ・ゴルダン係数を挙げている。読者には、線形代数の基礎、複素数、偏微分までの微積分、そして古典力学の知識が求められる。
• 非相対論的な範囲。 扱いは少数粒子の非相対論的理論までで、相対論は水素の微細構造の補正としてのみ現れる。本書は場の理論には進まない。
• 概念的な問いは最後に回される。 解釈に関心のある読者は、それを扱う短い章を一つ見つけるだけである。

コースにおける位置づけ

Griffiths と Schroeter は、この量子力学の書目における、標準的な形式の学部3、4年次向け教科書である。RaeとNapolitanoのQuantum Mechanicsは、実験的証拠から波動力学を展開する、よりコンパクトな学部最初の課程である。SusskindとFriedmanのQuantum Mechanics: The Theoretical Minimumは、波動力学ではなくスピンと2準位系から始めており、完全な課程の前に論理と数学を知りたい読者に向く。David AlbertのQuantum Mechanics and Experienceは、状態、測定、非局所性についての概念的な案内で、第12章や第1章と並行して読める。

SakuraiとNapolitanoのModern Quantum Mechanicsは、数学的にいっそう成熟した次のステップである。ディラック記法を用いて、学部上級から大学院初級のレベルで、状態、角運動量、対称性、近似法、散乱を展開する。第3章のディラック記法と第6章の対称性は、Sakuraiがさらに詳しく展開する話題への入口になる。

本書の使い方

本書は、古典力学、線形代数、多変数微積分を履修し、電気力学にもいくらか触れたことのある、物理、化学、工学の学生のためのものである。付録Aは線形代数の復習として使える。

実用的な進め方：

• **1学期の中核：**第1〜4章を順に学び、続いて第5章の関心のある部分、時間があれば第6章。
• **近似法の道具箱：**第7章と第8章（摂動法と変分法）は第II部の最初の道具である。第9〜11章は、必要な話題（トンネル効果、散乱、放射）に応じて選ぶ。
• **基礎：**序文が勧めているように、あとがきは第1章または第3章のあとで読んでよい。

問題を解くこと。節の終わりに多く置かれた星1つの問題から始め、章が理解できたら章末の星3つの問題に挑戦する。コンピューターを使う問題で、波動関数やシュレーディンガー方程式の数値解についての直観を養う。なじみのない数学の道具に出会ったら、序文はBoasのMathematical Methods in the Physical Sciencesか、Arfken、Weber、HarrisのMathematical Methods for Physicistsを勧めている。