Introductory Statistics 2e（統計学入門 第2版）

引用

Illowsky, B., Dean, S., et al. (2023). Introductory Statistics 2e. OpenStax. Free official edition: https://openstax.org/details/books/introductory-statistics-2e

章の要約

第1章：標本抽出とデータ

冒頭の章は、この科目で使う言葉——母集団、標本、統計量、母数（パラメータ）、変数——を導入し、記述統計と推測統計を区別するとともに、長期的な相対度数としての確率にも簡単に触れる。データを質的データと量的データ（離散・連続）に分類し、単純無作為抽出、層化抽出、集落抽出、系統抽出、便宜的抽出を比較して、偏りや標本の大きさの観点から標本を批判的に評価するよう促す。続いて度数分布表、丸めの規則、四つの測定尺度が扱われる。実験計画の節（潜在変数、無作為割り付け、対照群、プラセボ、盲検化）は研究倫理で締めくくられ、データ捏造の事例や施設内審査委員会（IRB）の役割が紹介される。

第2章：記述統計

この章は生のデータを図と要約の数値に変える。幹葉図、折れ線グラフと棒グラフ、ヒストグラム、度数多角形、時系列グラフ、パーセンタイル、四分位数、四分位範囲（1.5 × IQR による外れ値の規則を含む）、箱ひげ図を扱う。中心の尺度（平均、中央値、最頻値、度数分布表からの平均）は、歪みを通じて分布の形と結びつけられる。章の最後では分散と標準偏差、異なるデータの値を比較するための z スコア、そして平均の近くにどれだけのデータがあるかを示すチェビシェフの規則と経験則が扱われる。

第3章：確率の諸トピック

ここでは推測に必要な確率の基礎を築く。標本空間、事象、同様に確からしい結果、条件付き確率、余事象である。独立な事象と互いに排反な事象を区別し、乗法定理と加法定理を与える。章の大部分は問題の整理の仕方——分割表、樹形図、ベン図——に充てられ、調査や日常の場面から取った例が数多く示される。

第4章：離散確率変数

確率変数が導入され（X は言葉で定義し、x はその値とする）、確率分布表、期待値と標準偏差（大数の法則と関連づけて）、そして二項分布、幾何分布、超幾何分布、ポアソン分布という四つの名前のついた分布が、それぞれの成立条件、平均、標準偏差とともに扱われる。文章題がどの分布を表しているかを見分けることが強調され、二項分布のポアソン近似も含まれる。

第5章：連続確率変数

数えることから測ることへの移行は、密度曲線の下の面積としての確率と累積分布関数を通じて行われる。詳しく扱われる分布は二つで、確率が長方形の面積に帰着する一様分布と、無記憶性やポアソン分布（事象の回数）との関係を含む指数分布である。

第6章：正規分布

この章は二つのパラメータによって正規分布を導入し、z スコアの分布である標準正規分布を扱う。値と z スコアの間の変換、電卓による確率とパーセンタイルの求め方（数表は今ではほぼ不要だと本書は述べる）、経験則の使い方を示す。実習（ラボ）ではラップタイムと指の長さを使い、実際のデータが正規分布に見えるかを確かめる。

第7章：中心極限定理

中心極限定理は標本平均についてと和についての二つの形で示される。標本が十分大きければ、平均（または和）の分布は近似的に正規分布となり、その標準偏差は標準誤差で与えられる。7.3 節はこの定理を確率やパーセンタイルの問題に応用し、大数の法則を例示するのにも用いる。また章の学習目標には、文章題を必要な分布によって分類することが含まれる。二つのラボ——一つは級友のポケットの小銭を標本にし、もう一つはクッキーのレシピがどれだけ持ったかについての与えられたデータを使う——で定理の働きを確かめる。

第8章：信頼区間

推測は区間推定から始まる。章は母標準偏差が既知の場合の平均の信頼区間を構成し、誤差の限界と、信頼水準や標本の大きさがそれに与える影響を説明し、標本の大きさの決め方を示す。続いて σ が未知という、より現実的な場合のためにスチューデントの t 分布を導入し、母比率の区間推定も、小標本向けの「プラス4」調整を含めて扱う。本文は、ランダムなのは母数ではなく区間の方だと強調している。

第9章：1標本の仮説検定

仮説検定は意思決定の手順として組み立てられる。帰無仮説と対立仮説を立て、第一種・第二種の誤りと検出力を理解し、分布を選び（平均なら正規分布か t 分布、比率なら正規分布）、p 値をあらかじめ定めた有意水準と比べる。9.5 節には左側・右側・両側の検定の完全な解答例が集められ、いずれも文脈に即した文章の結論で終わり、機械的な規則ではなく p 値についての判断を促している。

第10章：2標本の仮説検定

同じ5段階の手順が二つの群の比較に拡張される。標準偏差が未知の二つの平均（分散をプールしないアスピン–ウェルチの t 検定）、標準偏差が既知の二つの平均、独立な二つの比率（プールした比率を使う）、対応のある標本である。章では効果量の尺度としてコーエンの d も導入される。自由度や検定統計量の計算は電卓やコンピュータに任される。

第11章：カイ二乗分布

カイ二乗分布と、その形が自由度によってどう変わるかを説明した後、観測度数と期待度数に基づく三つの検定——適合度、独立性、同質性——を扱い、学生が区別できるよう三者を比較する。一つの分散についての検定も扱う。二つのラボでは、学生が自ら集めたデータ（買い物レシートの合計額と好きなおやつ）で適合度検定と独立性検定を行う。

第12章：線形回帰と相関

一次方程式と散布図から出発し、この章は最小二乗回帰直線、残差と残差プロット、相関係数 r、決定係数 r² を展開する。母相関が0かどうかを（t 検定または臨界値の表によって）検定し、外挿を戒めつつ直線を予測に使い、外れ値と影響点を見つける規則を示す。三つのラボで二変量データ（学校までの距離、教科書のページ数と価格、燃費）を集める。

第13章：F分布と一元配置分散分析

最終章は一元配置分散分析によって比較を三つ以上の群へ広げ、その前提条件を述べ、群間と群内の変動から F 比を組み立てて分散分析表にまとめる。F 分布の形を説明し、正規性に大きく依存することを指摘しながら、二つの分散の F 検定で締めくくる。

主要概念

第1章：標本抽出とデータ

• 統計量と母数：統計量は標本から計算される数値で、母集団全体についての対応する数値である母数を推定するのに使われる。
• 無作為抽出法：単純無作為抽出、層化抽出、集落抽出、系統抽出は、各個体に既知の選ばれる機会を与える。これに対し便宜的抽出は偏りを生みやすい。
• 実験計画：無作為割り付け、対照群、プラセボ、盲検化を用いることで、群間の差を処置に帰することができるようにする。

第2章：記述統計

• 四分位数と IQR：四分位数は並べたデータを四つに分け、四分位範囲（Q3 − Q1）はばらつきを測り、外れ値の候補を示す。
• 平均・中央値と歪み：歪んだデータでは平均が裾の側に引っ張られるため、平均と中央値を比べると分布の形がわかる。

第3章：確率の諸トピック

• 条件付き確率：ある事象が起きたという条件のもとでの別の事象の確率 P(A|B)。
• 独立と排反：独立な事象は互いの確率に影響しないが、互いに排反な事象は同時には起こりえない。

第4章：離散確率変数

• 二項分布：成功確率が一定の独立な試行を決まった回数行ったときの成功回数の分布。
• ポアソン分布：事象が既知の平均的な割合で独立に起こるとき、一定の区間内に起こる回数の分布。

第5章：連続確率変数

• 確率密度関数：二つの値の間の面積がその範囲に入る確率を与える曲線。全面積は1である。
• 無記憶性：指数分布では、さらに待つ確率がすでに待った時間に依存しない。

第6章：正規分布

• z スコア：ある値が平均から標準偏差いくつ分上または下にあるかを表す数で、値の比較や標準化に使われる。
• 経験則：正規分布に従うデータでは、およそ 68%、95%、99.7% の値が平均から標準偏差1、2、3個分の範囲に入る。

第7章：中心極限定理

• 標準誤差：標本平均の標準偏差で、σ を n の平方根で割ったものに等しい。
• 中心極限定理：標本が十分大きければ、母集団の形にかかわらず、標本平均と標本和は近似的に正規分布に従う。

第8章：信頼区間

• 誤差の限界（許容誤差）：与えられた信頼水準で区間を作るために、点推定値に加えたり引いたりする幅。
• スチューデントの t 分布：σ が未知で s によって推定するときに正規分布の代わりに使う分布で、自由度は n − 1。

第9章：1標本の仮説検定

• 帰無仮説と対立仮説：母数についての互いに矛盾する二つの主張。帰無仮説は等号を含み、対立仮説は <、>、≠ で書かれる。
• p 値：帰無仮説が正しいと仮定したとき、観測された結果と同じかそれ以上に極端な標本結果が得られる確率。
• 第一種の誤りと第二種の誤り：正しい帰無仮説を棄却すること（確率 α）と、誤った帰無仮説を棄却しないこと（確率 β）。検出力は 1 − β。

第10章：2標本の仮説検定

• 独立な標本と対応のある標本：独立な群は平均や比率の差によって比較し、対応のあるデータは差の平均によって比較する。
• コーエンの d：二つの平均の差をプールした標準偏差で割った効果量の尺度。

第11章：カイ二乗分布

• 適合度検定：観測度数を、想定した分布のもとで期待される度数と比較する。
• 独立性の検定：分割表を使って、二つのカテゴリカル変数に関連があるかどうかを検定する。

第12章：線形回帰と相関

• 最小二乗直線：残差の二乗和を最小にする直線。その傾きは、x が1単位増えたときの y の平均的な変化として解釈される。
• 相関係数 r：線形関係の強さと向きを測る −1 から 1 の間の数。r² は直線によって説明される y の変動の割合を表す。

第13章：F分布と一元配置分散分析

• 一元配置分散分析：群平均の間の変動と群内の変動を比べて、複数の母平均が等しいかどうかを調べる検定。
• F 比：分散分析の検定統計量で、分子と分母にそれぞれ自由度をもつ。大きな値は平均の間に差があることを示唆する。

批判的分析

長所

• 能動的な学習のための設計。 クラスでデータを生み出す協同演習が全体を通して繰り返し登場し、どの章も「Stats Lab」の節（ポケットの小銭による中心極限定理のラボや、教科書の価格による回帰のラボなど）で終わる。そこで学生は自分でデータを集め、分析し、解釈する。付録 D には便宜的抽出を禁じたグループ課題が加わっている。
• 一貫した段階的な手順。 解答例は同じ型に従う——確率変数を言葉で定義し、分布を選び、計算し、図を描き、判断し、結論を文で書く。第9章の完全な解答例（水泳とゴーグルの検定など）では、第一種・第二種の誤りがその文脈で何を意味するかも説明されている。
• 段階的な練習が豊富。 各章には例の後の Try It 問題、Practice と Homework の問題集、そしてしばしば複数の話題を混ぜた「Bringing It Together」の問題がある。付録には第3–13章の復習問題、四つの模擬試験と期末試験、データセット、仮説検定用の記入式解答シートが加わる。一部の問題の解答は各章末に掲載されている。
• データの質と倫理への配慮。 第1章は標本の偏り、研究の批判的評価、実験計画、研究不正に十分な紙幅を割いており、後の推測統計の手法が、良いデータがどこから来るかという議論の上に置かれている。

短所

• TI のグラフ電卓に依存。 技術面の手順説明はほぼすべて TI-83/84 電卓向けで、表計算ソフトやその他のソフトウェアには軽く触れるだけである。R、Python、表計算ソフトを使う学生には別の手引きが必要になる。
• 理論や導出が少ない。 序文のとおり、本書は理論より応用を重視し、中級程度の代数しか前提としない。公式は導出されずに示され（たとえば最小二乗直線は、微積分で求められると述べるだけで提示される）、数理統計学に進む学生にはより厳密な教科書が必要になる。
• 標準的なシラバスを超える範囲は限られる。 ベイズの定理の名を挙げた扱い、ノンパラメトリック法、重回帰、シミュレーションに基づく推測はなく、一元配置分散分析も概要にとどまると明言されている。
• 仕上げのむらと硬直した経験則。 例 9.13 では平均に関する仮説を文字 p で書いており、後半の章では用語一覧が薄くなり（第12章の一覧は「外れ値」のみ）、帰無仮説には必ず等号を入れる、中心極限定理には n ≥ 30 を使う、といった慣習がほとんど議論なしに規則として示される。

本書で扱う応用

応用は特定の章にまとまっているのではなく、すべての章に織り込まれている。例は大学生活（試験の点数、教科書の価格）、健康（アスピリンとプラセボの研究）、ビジネス（自動車の販売、気温とアイスクリームの売上）、スポーツ（水泳のタイム、ラップタイム、打率）から取られている。ラボはこれらをデータ収集の課題に変える——お菓子を抽出して確率を推定し、指の長さやレースのラップタイムを正規モデルと比べ、回帰のための二変量データを集める。第1章では、公表された捏造事件と施設内審査委員会を通じて内容を研究倫理に応用している。

コースにおける位置づけ

確率・統計のコースの書籍リストの中で、本書は応用重視で代数レベルの入門書である。デイヴィッド・シュピーゲルハルターの The Art of Statistics は、一般には幅広い読者に向けた統計的思考の本とされており、二冊は相性がよい——考え方はシュピーゲルハルター、手順の練習はイロウスキーとディーン、という組み合わせである。ブリッツスタインとファンの Introduction to Probability は微積分を用いる確率論の教科書で、本書の第3–7章が概略しか示さない理論へ進む自然な次の一歩となる。

リスト中の微積分を用いる書——ラーセンとマルクスの An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications、マヴラカキスとペンザーの Probability and Statistical Inference、カセラとバーガーの Statistical Inference、ウィリアムズの Probability with Martingales、ミッツェンマッハーとアップファルの Probability and Computing——は微積分と数学的成熟度を前提とし、手法の背後にある理論を展開する。本書はそれらの代わりではなく、それらの前に読むべきである。本書は、それらの導出を追いやすくする語彙と直観（標本分布、信頼区間、p 値、回帰）を与えてくれる。

本書の使い方

本書は、数学や工学を専攻しない学生向けの一学期の入門科目を対象とし、中級程度の代数を前提とするが微積分は必要としない。独学や、研究法の科目の前の復習にも向いている。

まず第1–2章を読み、次に確率の基礎として第3–7章、そして推測の中核として第8–10章を扱う。第11–13章は科目に応じて選べばよい。相関と回帰を早めに必要とする場合、序文の代替順序では第12章を第2章の直後に置いている。各節では例を通読してから Try It 問題に取り組み、その後で解答を確認するとよい（Try It の解答は OpenStax の学生向けリソースのページにあり、Practice と Homework の一部の解答は各章末にある）。標本変動の考え方が具体的になるのはラボや協同演習なので、各章で少なくとも一つは取り組み、復習には付録 B の模擬試験を使うとよい。TI 電卓を持たない学生は早めに使うソフトウェアを決め、「Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator」の各囲みをそのソフトに置き換えるとよい。付録 F の記号と公式のまとめは試験対策に便利である。

版と出典

本ガイドは Introductory Statistics 2e（第2版、初版刊行 2023年。主要執筆者は Barbara Illowsky と Susan Dean で、ほかに9名の執筆協力者がいる）に基づき、OpenStax の書籍ページ https://openstax.org/details/books/introductory-statistics-2e からリンクされた無料の公式 PDF（2026年4月生成、CC BY-NC-SA 4.0 ライセンス）で読んだ。序文、目次全体、そして全13章について学習目標と導入、すべての節見出し、章末の Chapter Review、用語一覧、公式のまとめを読み、1.1–1.4 節、9.5 節、12.3 節と、いくつかのラボおよび付録（C、D、E）はより詳しく読んだ。