高等数学方法

引用

Ostaszewski, A. J. (1991). Advanced Mathematical Methods. Cambridge University Press.

章节概要

全书共23章，分为线性代数（第1–16章）和高等微积分（第17–23章）两部分，之后第三部分是部分习题的解答。剑桥大学出版社把它描述为一门自足的数学方法第二课程，涉及可应用于统计学、运筹学、计算机科学、计量经济学和数理经济学的线性代数与多元微积分专题。它自称的方法是在严格的理论方法与“食谱式”方法之间保持平衡，并给出具体而直观的几何解释。

第1–4章：向量空间（复习）；ℝⁿ中的几何；矩阵；投影

第一部分从向量空间的复习开始，继而展开n维实空间的几何、矩阵与投影。

第5–8章：谱理论；化为上三角形；化为三对角形；逆

矩阵理论的核心部分讨论特征值问题（谱理论）、把矩阵化为两种特殊形式的方法，以及矩阵的逆。

第9–13章：凸性；分离超平面定理；线性不等式；线性规划与博弈论；单纯形法

这些章节从凸集出发，经过分离超平面定理和线性不等式，进入线性规划、博弈论和单纯形法。

第14–16章：偏导数（复习）；凸函数；非线性规划

第一部分以偏导数的复习收尾，并由凸集转向凸函数与非线性规划。

第17–19章：积分过程；积分的运算；多重积分

高等微积分部分从积分开始：积分过程、积分的运算和多重积分。

第20–22章：微分方程与差分方程（复习）；拉普拉斯变换；线性常微分方程的级数解

接下来的几章复习微分方程和差分方程，然后介绍拉普拉斯变换和线性常微分方程的级数解。

第23章：变分法

最后一章介绍变分法。

第三部分：部分习题的解答

全书最后是部分习题的详细解答。

核心概念

第一部分：线性代数（第1–16章）

• 投影与谱理论：第4–5章。
• 化为三角形与三对角形：第6–7章。
• 凸性与分离超平面定理：第9–10章。
• 线性规划、博弈论与单纯形法：第12–13章。
• 凸函数与非线性规划：第15–16章。

第二部分：高等微积分（第17–23章）

• 积分的运算与多重积分：第18–19章。
• 拉普拉斯变换：第21章。
• 常微分方程的级数解：第22章。
• 变分法：第23章。

评析

优点

• 严格与技巧的有意平衡。 剑桥大学出版社称，作者在严格的理论方法与“食谱式”方法之间保持平衡，用具体而几何的解释，使没有深厚数学训练的学生也能读懂。
• 优化与线性代数同在一卷。 目录把矩阵理论与凸性、线性规划、博弈论和非线性规划结合起来，需要两者的读者不必在不同教材之间来回切换。
• 配有解答的材料。 出版社指出，书中例题和习题丰富，其中大部分有完整解答，第三部分汇集了部分习题的解答。
• 轻松的文风。 出版社称这部教材文风亲切、不拘一格；《美国数学月刊》称它是“一本出色的参考书”。

局限

• 偏重应用而非证明。 第1、14、20章是对先前内容的复习；剑桥称本书对兴趣在应用而非理论的学生有吸引力；想要纯分析或代数课程那样完整的证明式处理的读者，应另找他书。
• 题材范围有限。 第二部分涵盖积分、微分方程、拉普拉斯变换和变分法；它不是关于偏微分方程或数值方法的一般课程，目录中也没有出现这些题目。
• 较早的教材。 本书出版于1990年（平装本1991年1月），因此想要结合当代软件的优化算法处理的读者，需要再配一本较新的书。

在课程中的定位

本书属于数学书单中应用与优化的部分，其特点是把支撑性的线性代数和微积分与优化放在一起讲。这是一本写给已学过初等线性代数和微积分的应用领域学生的方法书。Ian Jacques 的《Mathematics for Economics and Business》是专为经济与商科学生写的书，Guenin、Könemann 和 Tunçel 的《A Gentle Introduction to Optimization》则从第一门线性代数课程出发，讲线性、整数和非线性规划。Chong、Lu 和 Żak 的《An Introduction to Optimization》以及 Boyd 和 Vandenberghe 的《Convex Optimization》更深入地讲优化理论与算法，因此 Ostaszewski 的第9–16章可作为它们的简明预备。已经从 Guenin、Könemann 和 Tunçel 的书里学过线性规划的读者，会发现第12–13章是对相关内容的又一种处理，带有剑桥所说的几何取向。Alain Goriely 的《Applied Mathematics: A Very Short Introduction》则是对应用数学家做什么的非技术性概览。

如何使用本书

本书适合已学过初等线性代数和微积分、专业为统计学、运筹学、计算机科学、计量经济学和数理经济学的本科二年级学生和研究生低年级学生。

• 线性代数与优化路径： 按顺序读第1–16章；第9–13章可当作关于凸性和线性规划的短课程。
• 阅读次序： 全书分为线性代数（第1–16章）和高等微积分（第17–23章）；选择与你专业相应的部分，并在读新内容前用复习章节（第1、14、20章）温习背景，例如在读拉普拉斯变换和级数解之前先读第20章。
• 练习： 做习题，并用第三部分的解答核对方法；由于许多解答是完整的，本书可用于自学。