forall x: Calgary. An Introduction to Formal Logic（forall x 卡尔加里版：形式逻辑导论）

引用

Magnus, P. D., Button, T., Trueman, R., & Zach, R. (2025). forall x: Calgary. An Introduction to Formal Logic (Fall 2025 ed.), with contributions by J. R. Loftis and A. Thomas-Bolduc. Open Logic Project. Free official edition: https://forallx.openlogicproject.org/

章节概要

本书共九个部分、48 个短章；以下按部分概述，并保留各章标题。

第1—3章（第一部分 逻辑的关键概念）：论证；逻辑的范围；其他逻辑概念

在引入任何符号之前，第一部分先说明什么是论证（由可真可假的句子构成的前提和结论），并把有效性定义为：不存在前提全真而结论为假的情形。第 2 章区分有效性的种类，引入形式有效性和可靠性，并把演绎有效性与归纳强度加以对照。第 3 章补充联合可能性、必然真与必然假以及必然等值，这些都借助"情形"来定义。

第4—8章（第二部分 真值函项逻辑）：符号化初步；联结词；TFL 的句子；歧义；使用与提及

第二部分引入真值函项逻辑（TFL）的语言。它先说明有些论证因形式而有效，以此说明符号化的必要，然后引入句子字母和符号化对照表，介绍五个联结词（否定、合取、析取、条件、双条件），并就"unless"等英语表达给出细致建议。第 6 章给出 TFL 句子的递归定义和括号约定，第 7 章说明符号化如何消除词汇歧义和结构歧义，第 8 章解释引号用法、对象语言与元语言以及元变项。

第9—15章（第三部分 真值表）：特征真值表；真值函项联结词；完全真值表；语义概念；TFL 的局限；真值表捷径；部分真值表

这一部分为 TFL 提供语义。在介绍特征真值表并讨论真值函项性（包括为何实质条件句只是英语"if"的近似）之后，本部分说明如何构造完全真值表，并用它定义重言式、矛盾式、等值、可满足性以及用双十字转门符号表示的衍推。第 13 章用例子说明 TFL 无法刻画的内容，最后两章讲授加快检验的捷径和部分真值表。

第16—22章（第四部分 TFL 的自然演绎）：自然演绎的基本思想；TFL 的基本规则；构造证明；TFL 的附加规则；证明论概念；导出规则；可靠性与完全性

第四部分建立一个菲奇式自然演绎系统，每个联结词都有引入规则和消去规则，并包括子证明和间接证明。第 18 章介绍寻找证明的策略（从目标倒推、从前提顺推、间接推进）。随后加入选言三段论、否定后件式、双重否定消去、排中律和德摩根规则，并证明它们都可以由基本规则导出。第 20 章引入单十字转门符号以及定理、可互推等证明论概念，第 22 章在不给出完整证明的情况下说明证明系统与真值表为何一致。

第23—29章（第五部分 一阶逻辑）：FOL 的构件；含一个量词的句子；多重概括；同一；FOL 的句子；限定摹状词；歧义

这里语言扩展到名称、谓词、量词和论域。各章循序渐进地培养符号化技能：常见的量词短语、空谓词与论域的选择、多元谓词与量词顺序，以及同一（用于"只有""除了"和计数表达）。第 27 章正式定义项、公式、自由变项和句子；第 28 章介绍罗素的限定摹状词理论并讨论其恰当性；第 29 章运用符号化消除英语中的辖域歧义。

第30—35章（第六部分 解释）：外延性；FOL 中的真；语义概念；运用解释；关于解释的推理；关系的性质

第六部分为一阶逻辑提供语义。谓词通过外延来解释，解释由论域、名称和谓词的指定构成，FOL 中的真分别对原子句、联结词和量词加以定义。随后针对 FOL 重新定义有效性、衍推和可满足性，并说明如何构造解释来证明某个句子不是有效式或某个论证无效，以及为何要证明有效则需要对所有解释进行一般性推理。最后一章定义传递性、自反性、对称性等性质。

第36—41章（第七部分 FOL 的自然演绎）：FOL 的基本规则；含量词的证明；量词转换；同一规则；导出规则；证明与语义

证明系统加入全称量词和存在量词的引入与消去规则（同时关注空论域和空量化），接着介绍含量词证明的策略、跨越否定的量词转换规则以及同一规则，并证明转换规则是可导出的。第 41 章强调可证性（⊢）与语义后承（⊨）是不同的概念，并说明各自在什么情况下更容易确立。

第42—44章（第八部分 模态逻辑）：模态逻辑导论；ML 的自然演绎；ML 的语义

这一部分用□和◇算子扩展 TFL。它解释必然性的不同读法（包括可证性），给出自然演绎系统 K、T、S4 和 S5，并为每个系统提供带可及关系的可能世界语义。

第45—48章（第九部分 元理论）：范式；函项完全性；证明等值；可靠性

最后一部分证明关于 TFL 本身的结果：每个句子都有析取范式和合取范式；某些联结词集合是函项完全的（另一些则不是）；可以通过替换和等值链确立等值；以及 TFL 的自然演绎系统是可靠的。附录讨论其他记法、其他证明系统，并提供规则速查表，书末附有术语表。

核心概念

第一部分：逻辑的关键概念

• 有效性：不存在前提全真而结论为假的情形时，论证有效。
• 论证的可靠性：论证有效且前提实际上全部为真。
• 联合可能性：在某种情形下可以同时为真的一组句子。

第二部分：真值函项逻辑

• 符号化对照表：把英语句子分配给句子字母的对应表。
• 主联结词：决定句子整体结构的联结词。
• 对象语言与元语言：被研究的语言与用来谈论它的语言，通过引号和元变项加以区分。

第三部分：真值表

• 赋值：对句子字母的一种真值指派，对应真值表中的一行。
• 重言式、矛盾式、衍推：在所有赋值下为真；在所有赋值下为假；不存在使前提为真而结论为假的赋值。
• 真值函项性：联结词的输出只取决于输入的真值。

第四部分：TFL 的自然演绎

• 引入规则与消去规则：用于证明和使用含某联结词之句子的成对规则。
• 子证明与间接证明：之后被解除的临时假设，包括通过推出矛盾进行的证明。
• 导出规则：提供便利、但可由基本规则加以证成的规则。

第五部分：一阶逻辑

• 量词与论域：∀和∃在所选定的对象论域上取值。
• 量词顺序：∀x∃y 与 ∃y∀x 表达不同的内容。
• 罗素对限定摹状词的分析：把"那个 F 是 G"分析为"恰有一个 F，且它是 G"。

第六部分：解释

• 外延：谓词所适用的对象（或有序组）的集合。
• 解释：论域连同名称的指称对象和谓词的外延。
• 反例解释：表明某句子不是有效式或某论证无效的解释。

第七部分：FOL 的自然演绎

• 全称引入与存在消去：对所用名称有限制的量词规则。
• 单十字转门与双十字转门：可证性与语义后承。

第八部分：模态逻辑

• 必然与可能算子：加入 TFL 的□和◇。
• 系统 K、T、S4、S5：强度递增的证明系统，对应可能世界语义中的可及关系。

第九部分：元理论

• 范式：任何 TFL 句子都可转换成的析取范式和合取范式。
• 函项完全性：一组联结词能够表达所有真值函项的能力。
• 证明系统的可靠性：凡可证的都是被衍推的。

评析

优点

• 细致区分语义与证明。 本书先非形式地（第一部分）、再通过真值表和解释、最后从证明论角度定义逻辑概念，并强调⊨与⊢的区别（第 20、22 和 41 章）。这种结构为学生进入元理论做好准备，而不是把逻辑当作一堆技巧。
• 扎实的符号化训练。 关于"unless"、歧义、空谓词、量词顺序、同一和限定摹状词的章节，就初学者最难掌握的技能——把英语译成形式记法——给出详细指导，并配有大量例题。
• 不仅讲规则，也讲证明策略。 第 18 章和第 37 章教授如何寻找证明（倒推、顺推、间接证明）；系统采用根岑式规则，间接证明是唯一的经典规则，因此从基本规则到导出规则的过渡清晰可见。
• 开放且配套完善。 正文采用 CC BY 许可，有无障碍 HTML 版，许多习题的答案可免费获取；其语法和证明系统（模态逻辑除外）得到在线软件 Carnap 的支持，可自动批改。

局限

• 没有完全性证明。 第 22 章只是非形式地讨论可靠性和完全性，第九部分也只证明了 TFL 自然演绎的可靠性；TFL 或 FOL 的完全性留给更高阶的教材。
• 模态逻辑只是简短的附加内容。 第八部分用三章介绍 K、T、S4 和 S5，没有涉及一阶模态逻辑，也没有深入讨论哲学应用，更适合作为初步了解，而非一门模态逻辑课程。
• 版本更新频繁。 前言指出在线 PDF"经常变化"，并建议教师固定使用某一版本；本导读所依据的版本与印刷本在章节号和页码上可能不同。
• 侧重形式逻辑而非非形式逻辑。 除第一部分涉及归纳论证外，本书不讨论谬误、论证图示或批判性推理，因此把非形式逻辑与形式逻辑结合起来的课程还需要其他材料。

在课程中的定位

在"逻辑学"书单中，forall x: Calgary 是面向第一门课的形式逻辑教材，与 Barker-Plummer、Barwise 和 Etchemendy 的 Language, Proof and Logic 并列；后者一般被认为覆盖相近内容（采用菲奇式证明系统的命题逻辑和一阶逻辑），并围绕其配套软件展开。Copi、Cohen 和 Rodych 的 Introduction to Logic 一般被认为更广泛地讨论非形式推理和传统逻辑；想学习谬误和批判性推理的学生可以把它与形式内容更系统的 forall x 一起使用。

后续的两本书是自然的下一步。Sider 的 Logic for Philosophy 面向哲学学生，进一步讨论元逻辑、模态逻辑和非经典逻辑，并以本书第二至第七部分的内容为前提；forall x 的第八、九部分可以起到衔接作用。Boolos、Burgess 和 Jeffrey 的 Computability and Logic 讨论可计算性以及 forall x 未予证明的重要元定理（包括完全性定理和不完全性定理），最好在以本书为基础的入门课程之后学习。

如何使用本书

本书为一学期的形式逻辑入门课程而写，通常开设于哲学系，除了认真对待定义之外不要求数学基础。前言介绍了一个 12 周的教学计划：讲授第一至第七部分以及第 45—47 章，略去部分真值表和导出规则。一学期的课程可以照此安排；第八部分（模态逻辑）和第 48 章（可靠性）适合课时更长的课程或荣誉课程。

请完成大多数章末的练习题，并用本书网站上单独发布的答案册核对答案。如果课程使用 Carnap（carnap.io），可以在自动反馈下练习符号化、真值表和证明。由于在线 PDF 会更新，应按照前言的建议下载一个版本并在整个学期中坚持使用；速查表附录和术语表在做证明和考试时很有用。

版本与来源

本导读依据 forall x: Calgary 的 Fall 2025 版（PDF 修订号 c5cb415，日期 2026-09-27），底本下载自官方网站 https://forallx.openlogicproject.org/。该网站当前提供的 PDF 就是这一 Fall 2025 版；网站还存档了较早的 Fall 2020 和 Fall 2021 版 PDF，但没有提供 Fall 2023 版文件，因此本导读在细节上可能与本页所列的 Fall 2023 印刷版有所不同。本导读参考了前言（范围、致谢、教师须知）、完整目录，以及全部 48 章各自的开头部分、所有小节标题和练习题的设置情况，并对第 13、22、35、41 和 42 章作了更完整的阅读。