01 / 導讀
導讀
引用
Magnus, P. D., Button, T., Trueman, R., & Zach, R. (2025). forall x: Calgary. An Introduction to Formal Logic (Fall 2025 ed.), with contributions by J. R. Loftis and A. Thomas-Bolduc. Open Logic Project. Free official edition: https://forallx.openlogicproject.org/
章節概要
本書共九個部分、48 個短章；以下依部分概述，並保留各章標題。
第1—3章（第一部分 邏輯的關鍵概念）：論證；邏輯的範圍；其他邏輯概念
在引入任何符號之前，第一部分先說明什麼是論證（由可真可假的語句構成的前提與結論），並把有效性定義為：不存在前提全真而結論為假的情況。第 2 章區分有效性的種類，引入形式有效性與健全性，並將演繹有效性與歸納強度相對照。第 3 章補充聯合可能性、必然真與必然假以及必然等值，這些都藉由「情況」來定義。
第4—8章（第二部分 真值函數邏輯）：符號化初步；連結詞；TFL 的語句；歧義；使用與提及
第二部分引入真值函數邏輯（TFL）的語言。它先指出有些論證因形式而有效，以此說明符號化的動機，接著引入語句字母與符號化對照表，介紹五個連結詞（否定、連言、選言、條件、雙條件），並就「unless」等英文說法提供細緻建議。第 6 章給出 TFL 語句的遞迴定義與括號慣例，第 7 章說明符號化如何消除詞彙歧義與結構歧義，第 8 章解釋引號用法、對象語言與後設語言，以及後設變項。
第9—15章（第三部分 真值表）：特徵真值表；真值函數連結詞；完整真值表；語意概念；TFL 的限制；真值表捷徑；部分真值表
這一部分為 TFL 提供語意。在介紹特徵真值表並討論真值函數性（包括為何實質條件句只是英文「if」的近似）之後，本部分說明如何建構完整真值表，並以此定義恆真句、矛盾句、等值、可滿足性，以及以雙十字轉門符號表示的蘊涵。第 13 章以例子說明 TFL 無法捕捉的內容，最後兩章則教授加速檢驗的捷徑與部分真值表。
第16—22章（第四部分 TFL 的自然演繹）：自然演繹的基本構想；TFL 的基本規則；建構證明；TFL 的附加規則；證明論概念；導出規則；健全性與完備性
第四部分建立一套費奇式自然演繹系統，每個連結詞都有引入規則與消去規則，並包含子證明與間接證明。第 18 章介紹尋找證明的策略（從目標倒推、從前提順推、間接推進）。接著加入選言三段論、否定後件律、雙重否定消去、排中律與德摩根規則，並證明它們都能由基本規則導出。第 20 章引入單十字轉門符號，以及定理、可互推等證明論概念；第 22 章在不提出完整證明的情況下，說明證明系統與真值表為何一致。
第23—29章（第五部分 一階邏輯）：FOL 的構件；含一個量詞的語句；多重概括；同一；FOL 的語句；確定描述詞；歧義
此處語言擴展到名稱、述詞、量詞與論域。各章循序培養符號化技能：常見的量詞片語、空述詞與論域的選擇、多元述詞與量詞順序，以及同一（用於「只有」、「除了」與計數表達）。第 27 章正式定義項、公式、自由變項與語句；第 28 章介紹羅素的確定描述詞理論並討論其適切性；第 29 章運用符號化消除英文中的範圍歧義。
第30—35章（第六部分 詮釋）：外延性；FOL 中的真；語意概念；運用詮釋；關於詮釋的推理；關係的性質
第六部分為一階邏輯提供語意。述詞以外延加以詮釋，詮釋由論域、名稱與述詞的指定構成，FOL 中的真則分別就原子語句、連結詞與量詞加以定義。接著針對 FOL 重新定義有效性、蘊涵與可滿足性，並說明如何建構詮釋來證明某語句不是有效句或某論證無效，以及為何要證明有效則需要對所有詮釋進行一般性推理。最後一章定義遞移性、自反性、對稱性等性質。
第36—41章（第七部分 FOL 的自然演繹）：FOL 的基本規則；含量詞的證明；量詞轉換；同一規則；導出規則；證明與語意
證明系統加入全稱量詞與存在量詞的引入與消去規則（並留意空論域與空量化），接著介紹含量詞證明的策略、跨越否定的量詞轉換規則以及同一規則，並證明轉換規則是可導出的。第 41 章強調可證性（⊢）與語意後承（⊨）是不同的概念，並說明各自在何種情況下較容易確立。
第42—44章（第八部分 模態邏輯）：模態邏輯導論；ML 的自然演繹；ML 的語意
這一部分以□與◇運算子擴充 TFL。它解釋必然性的不同讀法（包括可證性），提出自然演繹系統 K、T、S4 與 S5，並為每個系統提供具可及關係的可能世界語意。
第45—48章（第九部分 後設理論）：範式；函數完備性；證明等值；健全性
最後一部分證明關於 TFL 本身的結果：每個語句都有選言範式與連言範式；某些連結詞集合具函數完備性（另一些則否）；可以透過替換與等值鏈確立等值；以及 TFL 的自然演繹系統是健全的。附錄討論其他記號、其他證明系統，並提供規則速查表，書末附有詞彙表。
核心概念
第一部分：邏輯的關鍵概念
- 有效性：不存在前提全真而結論為假的情況時，論證有效。
- 論證的健全性：論證有效且前提實際上全部為真。
- 聯合可能性：在某種情況下可以同時為真的一組語句。
第二部分：真值函數邏輯
- 符號化對照表：把英文語句分配給語句字母的對照表。
- 主運算子：決定語句整體結構的連結詞。
- 對象語言與後設語言：被研究的語言與用來談論它的語言，以引號與後設變項加以區分。
第三部分：真值表
- 賦值：對語句字母的一種真值指派，對應真值表中的一列。
- 恆真句、矛盾句、蘊涵：在所有賦值下為真；在所有賦值下為假；不存在使前提為真而結論為假的賦值。
- 真值函數性：連結詞的輸出只取決於輸入的真值。
第四部分：TFL 的自然演繹
- 引入規則與消去規則：用於證明與使用含某連結詞之語句的成對規則。
- 子證明與間接證明：之後會被解除的暫時假設，包括透過推出矛盾所做的證明。
- 導出規則：提供便利、但可由基本規則加以證成的規則。
第五部分：一階邏輯
- 量詞與論域：∀與∃在選定的對象論域上取值。
- 量詞順序：∀x∃y 與 ∃y∀x 表達不同的內容。
- 羅素對確定描述詞的分析：把「那個 F 是 G」分析為「恰有一個 F，且它是 G」。
第六部分：詮釋
- 外延：述詞所適用的對象（或有序組）的集合。
- 詮釋：論域連同名稱的指涉對象與述詞的外延。
- 反例詮釋：顯示某語句不是有效句或某論證無效的詮釋。
第七部分：FOL 的自然演繹
- 全稱引入與存在消去：對所用名稱設有限制的量詞規則。
- 單十字轉門與雙十字轉門：可證性與語意後承。
第八部分：模態邏輯
- 必然與可能運算子：加入 TFL 的□與◇。
- 系統 K、T、S4、S5：強度遞增的證明系統，對應可能世界語意中的可及關係。
第九部分：後設理論
- 範式：任何 TFL 語句都可轉換成的選言範式與連言範式。
- 函數完備性：一組連結詞能表達所有真值函數的能力。
- 證明系統的健全性：凡可證者皆被蘊涵。
評析
優點
- 細緻區分語意與證明。 本書先以非形式方式（第一部分）、再透過真值表與詮釋、最後從證明論角度定義邏輯概念，並強調⊨與⊢的差別（第 20、22 與 41 章）。這樣的結構讓學生為進入後設理論做好準備，而不是把邏輯當成一堆技巧。
- 紮實的符號化訓練。 關於「unless」、歧義、空述詞、量詞順序、同一與確定描述詞的各章，針對初學者最難掌握的技能——把英文譯成形式記號——提供詳細指引，並附有大量例題。
- 不只講規則，也講證明策略。 第 18 章與第 37 章教授如何尋找證明（倒推、順推、間接證明）；系統採用根岑式規則，間接證明是唯一的古典規則，因此從基本規則到導出規則的過渡清楚可見。
- 開放且配套完善。 正文採 CC BY 授權，有無障礙 HTML 版，許多習題的解答可免費取得；其語法與證明系統（模態邏輯除外）獲線上軟體 Carnap 支援，可自動批改。
局限
- 沒有完備性證明。 第 22 章僅以非形式方式討論健全性與完備性，第九部分也只證明 TFL 自然演繹的健全性；TFL 或 FOL 的完備性則留給更高階的教材。
- 模態邏輯只是簡短的附加內容。 第八部分以三章介紹 K、T、S4 與 S5，未涉及一階模態邏輯，也未深入討論哲學應用，較適合作為初步認識，而非一門模態邏輯課程。
- 版本更新頻繁。 前言指出線上 PDF「經常變動」，並建議教師固定使用某一版本；本導讀所依據的版本與印刷本在章號與頁碼上可能不同。
- 著重形式邏輯而非非形式邏輯。 除第一部分涉及歸納論證外，本書不討論謬誤、論證圖示或批判推理，因此結合非形式與形式邏輯的課程仍需其他教材。
在課程中的定位
在「邏輯學」書單中，forall x: Calgary 是面向第一門課的形式邏輯教科書，與 Barker-Plummer、Barwise 與 Etchemendy 的 Language, Proof and Logic 並列；後者一般被認為涵蓋相近內容（採費奇式證明系統的命題邏輯與一階邏輯），並以其配套軟體為核心。Copi、Cohen 與 Rodych 的 Introduction to Logic 一般被認為更廣泛地討論非形式推理與傳統邏輯；想學習謬誤與批判推理的學生，可將它與形式內容更有系統的 forall x 搭配使用。
後續的兩本書是自然的下一步。Sider 的 Logic for Philosophy 以哲學學生為對象，進一步探討後設邏輯、模態邏輯與非古典邏輯，並以本書第二至第七部分的內容為前提；forall x 的第八、九部分可發揮銜接作用。Boolos、Burgess 與 Jeffrey 的 Computability and Logic 探討可計算性以及 forall x 未予證明的重要後設定理（包括完備性定理與不完備性定理），最好在以本書為基礎的入門課程之後研讀。
如何使用本書
本書為一學期的形式邏輯入門課程而寫，通常開設於哲學系，除了認真看待定義之外，不要求數學基礎。前言介紹了一個 12 週的教學計畫：講授第一至第七部分以及第 45—47 章，略去部分真值表與導出規則。一學期的課程可依此安排；第八部分（模態邏輯）與第 48 章（健全性）適合課時較長的課程或榮譽課程。
請完成多數章末的練習題，並以本書網站上另行發布的解答本核對答案。若課程使用 Carnap（carnap.io），可在自動回饋下練習符號化、真值表與證明。由於線上 PDF 會更新，應依前言建議下載一個版本並在整個學期中持續使用；速查表附錄與詞彙表在做證明與考試時很有幫助。
版本與來源
本導讀依據 forall x: Calgary 的 Fall 2025 版（PDF 修訂碼 c5cb415，日期 2026-09-27），底本下載自官方網站 https://forallx.openlogicproject.org/。該網站目前提供的 PDF 即為此 Fall 2025 版；網站也保存了較早的 Fall 2020 與 Fall 2021 版 PDF，但未提供 Fall 2023 版檔案，因此本導讀在細節上可能與本頁所列的 Fall 2023 印刷版有所不同。本導讀參考了前言（範圍、致謝、教師須知）、完整目次，以及全部 48 章各自的開頭部分、所有小節標題與練習題的設置情形，並對第 13、22、35、41 與 42 章作了較完整的閱讀。