Statistical Mechanics（統計力学）

引用

Pathria, R. K., & Beale, P. D. (2021). Statistical Mechanics (4th ed.). Academic Press.

章の要約

第4版は全16章です。順序は、この分野の基礎（第1〜4章）、量子統計と単純な気体（第5〜9章）、相互作用する系と相転移（第10〜14章）、そして最後にゆらぎ、非平衡の話題、計算機シミュレーション（第15章と第16章）です。出版社の紹介文も同じ流れを示しており、歴史的背景に始まり、熱力学、アンサンブル理論、単純な気体の理論、理想ボース系と理想フェルミ系、相互作用する系、相転移、計算機シミュレーションと続きます。

第1章：熱力学の統計的基礎

最初の章は、多粒子系の微視的な記述を熱力学の法則に結びつけます。出版社によれば、本書は主要な章に入る前にこの分野の歴史的背景を紹介します。

第2–4章：アンサンブル理論の要素；正準アンサンブル；大正準アンサンブル

この3章で標準的なアンサンブルを整えます。第2章はアンサンブル理論の要素、第3章は正準アンサンブル、第4章は粒子数も変化しうる大正準アンサンブルを導入します。これらが後の章の枠組みになります。

第5–6章：量子統計の定式化；単純な気体の理論

第5章は量子系のために統計力学を定式化し直し、第6章はその定式化を単純な気体に適用します。

第7–8章：理想ボース系；理想フェルミ系

理想ボース系と理想フェルミ系にそれぞれ1章が充てられ、相互作用のない量子気体を扱います。直前の量子統計の定式化がその準備になります。

第9章：初期宇宙の熱力学

理想ボース系と理想フェルミ系のあとに置かれた、初期宇宙の熱力学の章です。出版社は、これを本書の特色ある主題の一つとして挙げています。

第10–11章：相互作用する系の統計力学：クラスター展開の方法；相互作用する系の統計力学：量子化された場の方法

粒子間に相互作用がある系を扱う2章で、それぞれ別の方法を紹介します。第10章はクラスター展開、第11章は量子化された場の方法です。

第12–14章：相転移：臨界性、普遍性、スケーリング；相転移：さまざまな模型の厳密な（またはほぼ厳密な）結果；相転移：くりこみ群のアプローチ

3章が相転移に関する一つのまとまった部分を成します。最初は臨界性、普遍性、スケーリング、次は各種の模型の厳密またはほぼ厳密な結果、最後はくりこみ群です。

第15章：ゆらぎと非平衡統計力学

この章はゆらぎと非平衡統計力学を扱います。出版社が挙げる本書の主題には、相関関数と散乱、ゆらぎ・散逸定理と動的構造因子が含まれます。

第16章：計算機シミュレーション

最後の章は計算機シミュレーションを紹介します。出版社はモンテカルロ法と分子動力学に触れ、第4版でシミュレーションに関する内容と演習が更新されたと述べています。

主要概念

第1–4章：基礎

• 熱力学の統計的基礎：微視的な状態を巨視的な法則に結びつける。
• アンサンブル：正準アンサンブルと大正準アンサンブルが主な道具。

第5–9章：量子統計と理想系

• 量子統計：ボース粒子とフェルミ粒子の定式化。
• 理想ボース系と理想フェルミ系：それぞれ1章を占める。
• 初期宇宙の熱力学：理想気体の統計力学の応用の一つ。

第10–14章：相互作用と相転移

• クラスター展開と量子化された場：相互作用する系を扱う二つの方法。
• 臨界性、普遍性、スケーリング：相転移の理論の中心的な考え方。
• くりこみ群：臨界的な振る舞いを扱う方法。

第15–16章：ゆらぎとシミュレーション

• ゆらぎと非平衡統計力学：第15章の主題。
• 計算機シミュレーション：モンテカルロ法と分子動力学。

批判的分析

長所

• 幅広く整然とした範囲。 16の章は、熱力学の基礎からアンサンブル理論と量子統計を経て、相互作用する系、相転移、シミュレーションへと進みます。出版社は、第4版が前の版の構成と範囲を保っていると述べています。
• 相転移に独立した部分がある。 3章（第12〜14章）が、臨界性とスケーリング、模型の厳密またはほぼ厳密な結果、くりこみ群に充てられています。
• 現在の応用との橋渡し。 出版社は、生物物理への応用、原子気体のボース＝アインシュタイン凝縮、初期宇宙の熱力学、計算機シミュレーションに関する新しい内容を強調しており、形式を現在の研究分野と結びつけています。
• 教育面の支援。 出版社は、学生向けのMathematicaファイルと、資格のある教員向けの非公開の解答集を挙げ、演習が更新されたと述べています。

短所

• 入門書ではない。 出版社が示す読者は学部上級生と大学院生で、本書は学部レベルの熱物理と量子力学を学んでいることを前提とします。
• 解答が限られている。 出版社は解答集を非公開で、資格のある教員向けと説明しているため、独学者には演習の公式な解答がありません。
• 取捨選択が必要。 16章が基礎、量子気体、相転移、シミュレーションにわたるため、授業や読者は、どの部分を扱うか選ぶのが普通です。

コースにおける位置づけ

Pathria と Beale は、この熱力学・統計力学のリストの中で大学院レベルの教科書です。Schroeder の An Introduction to Thermal Physics と Blundell 夫妻の Concepts in Thermal Physics は、ミクロな状態、確率、分配関数から熱力学と統計力学を展開する学部向けの教科書で、Rex と Finn の Finn's Thermal Physics は古典熱力学から始まる簡潔な入門書です。Baierlein の Thermal Physics は、正準分布、量子気体、臨界現象に至る学部向けの教科書で、Lemons の A Student's Guide to Entropy は一つの中心概念についての短いガイドです。

まず学部向けの本の一つを読み、その後、大学院の授業、量子統計と相転移の各章、あるいはくりこみ群とシミュレーションの参考書として Pathria と Beale を使います。

本書の使い方

本書は、学部レベルの熱物理と量子力学を学び、数学的方法の授業程度の数学に慣れている学部上級生と大学院生向けです。

実践的な進め方は次のとおりです。

• 基礎： 第1〜4章を順に読みます。以降のすべてのためのアンサンブルがここで整います。
• 量子気体： 第5〜8章で量子統計の定式化と理想ボース系・理想フェルミ系を学びます。標準的な応用の多くがここにあります。
• 相互作用と臨界現象： 第10〜14章。相転移の部分は一つのまとまりとして読みます。
• 選択・応用： 初期宇宙は第9章、ゆらぎと非平衡の話題は第15章、シミュレーションは第16章で、Mathematicaファイルを活用します。
• 演習： 各章と並行して解きます。解答は教員だけに提供されるので、勉強会を作るか、極限の場合で自己点検します。