Computational Physics: Problem Solving with Python（計算物理学：Python による問題解決）

引用

Landau, R. H., Páez, M. J., & Bordeianu, C. C. (2024). Computational Physics: Problem Solving with Python (4th ed.). Wiley-VCH.

章の要約

第4版は4部27章からなり、本文は約540ページ、そのほかにコードとアニメーションの付録、参考文献、索引がある。第1章が基本方針を説明する。計算物理学は、物理学、応用数学、計算機科学を結ぶ橋として扱われ、問題、理論またはモデル、アルゴリズム、結果の評価という、実践的で探究型のサイクルを通じて教えられる。ほぼすべての章が、これらの段階へと導くキーノートの「問題」で始まる。全体を通して言語はPythonであり、以前の版はJava、Fortran、Cを使っていた。出版社によれば、本書の最初の3分の1が科学計算の基礎を築き、後半の3分の2がより進んだ話題を扱う。この版では、量子コンピューティング、機械学習、一般相対性理論の新しい章が加わった。以下の項目は、本書の4つの部ごとに章をまとめ、節の見出しを含めて目次に沿っている。

第1章：序論

科学の中での計算物理学の位置づけ、本書の主題、約60本の動画講義モジュール（現在はmp4動画とPDFスライド）と提供されるコードを説明し、Pythonのエコシステム（Jupyter、NumPy、Matplotlib、Pandas、SymPy、VPython。Anaconda配布の使用を推奨）を概観する。著者は、1クォーターの課程には本書のおよそ最初の3分の1を、2クォーターの課程には残りを使うことを勧め、教材は1年分にもなりうるとしている。

第2–3章：ソフトウェアの基礎／誤差と不確かさ

第2章は、計算機の数の表現（IEEE浮動小数点数）、Pythonのミニチュートリアル、オーバーフローとアンダーフローおよび機械精度についての準備演習、VPythonとMatplotlibによる作図（2D、3D曲面、アニメーション）を扱う。第3章は、誤差の種類、桁落ち、丸め誤差の蓄積、べき級数における誤差、漸化式で計算するベッセル関数の誤差を扱う。

第4–5章：モンテカルロ・シミュレーション／微分と積分

モンテカルロは乱数から始まり、ランダムウォーク（脳内や蛋白質の折りたたみを含む）、自発的崩壊、乱数分布の検証へと進む。第5章は、前進・中心・外挿差分、台形則とシンプソン則、ガウス求積、モンテカルロ積分、分散低減、重点サンプリングとフォン・ノイマンの棄却法を扱う。

第6–8章：試行錯誤による探索とデータフィッティング／行列計算とN次元探索／微分方程式と非線形振動

第6章は、量子束縛状態と磁化の問題を使って二分法とニュートン＝ラフソン法による探索を導入し、続いてラグランジュ補間、3次スプライン、最小二乗法によるデータフィッティングを扱い、共鳴への非線形フィットで終わる。第7章は、弦につながれた質量とスピン状態の超微細構造を通じてPythonとNumPyの行列を扱い、ベクトル化の節も含む。第8章は常微分方程式を復習し、オイラー法、ルンゲ＝クッタ法、予測子修正子法を扱ったうえで、非線形振動子、共鳴、うなり、摩擦に応用する。

第9–10章：フーリエ解析／ウェーブレットと主成分分析（第II部：データサイエンス）

フーリエ級数と変換、離散変換とエイリアシング、ノイズのフィルタリング、高速フーリエ変換。続いて、波束と不確定性原理、短時間フーリエ変換、ウェーブレット変換、主成分分析を扱う。

第11–12章：ニューラルネットワークと機械学習／量子コンピューティング

第11章は、1つのニューロンから簡単なニューラルネットワークを組み立て、TensorFlow、scikit-learn、クラスタリング、Keras、OpenCVによる画像処理へと進む。G. Heとの共著である第12章は、ディラック記法、量子ビット、エンタングルメント、論理ゲート、IBM QuantumとQiskitによるプログラミング、量子フーリエ変換、グローバーの探索アルゴリズム、ショアの素因数分解を導入する。

第13–16章：ODEの応用／フラクタルと統計的成長モデル／非線形個体群動態／連続系の非線形力学（第III部：応用）

任意のポテンシャルに対する固有値、古典カオス散乱、空気抵抗のある放物運動と惑星軌道。シェルピンスキーのガスケットから拡散律速凝集に至るフラクタル。ロジスティック写像、分岐図、捕食者–被食者モデル。カオス振り子、位相空間、ローレンツアトラクタなどのその他のカオス系。

第17–20章：熱力学シミュレーションとファインマン経路積分／分子動力学シミュレーション／一般相対性理論／積分方程式

イジング鎖、メトロポリス法、経路積分量子力学。ベルレ・アルゴリズムによる分子動力学。アインシュタイン方程式、光の偏向、近日点移動、ワームホール。非局所ポテンシャルと運動量空間での散乱。

第21–24章：偏微分方程式の復習、静電気学と緩和法／熱の流れとリープフロッグ／弦と膜の波／量子波束と電磁波（第IV部：偏微分方程式の応用）

差分法と緩和法によるラプラス方程式。リープフロッグ法とクランク＝ニコルソン法による熱方程式。弦と膜の波。時間依存シュレーディンガー方程式と、時間領域差分法によるマクスウェル方程式の解法。

第25–27章：衝撃波とソリトン波／流体力学／有限要素法による静電気学

バーガース方程式、KdVソリトン、サイン・ゴルドン方程式。渦度形式のナビエ＝ストークス方程式。2枚の板の静電問題に対する有限要素法。

主要概念

第I部：基礎（第1–8章）

• 浮動小数点演算と誤差：IEEE数、丸め誤差、桁落ち。
• モンテカルロ法：ランダムウォーク、崩壊のシミュレーション、モンテカルロ積分。
• 探索とフィッティング：二分法、ニュートン＝ラフソン法、スプライン、最小二乗法。
• 常微分方程式のアルゴリズム：オイラー法、ルンゲ＝クッタ法、予測子修正子法。

第II部：データサイエンス（第9–12章）

• フーリエ解析とウェーブレット解析：離散変換、FFT、ウェーブレット、主成分。
• ニューラルネットワークと機械学習：TensorFlow、Keras、scikit-learnの例。
• 量子コンピューティング：量子ビット、ゲート、グローバーとショアのアルゴリズム。

第III–IV部：応用と偏微分方程式（第13–27章）

• 非線形力学とカオス：ロジスティック写像、カオス振り子、ローレンツアトラクタ。
• 差分法と有限要素法：緩和法、リープフロッグ、クランク＝ニコルソン、有限要素法。
• 波動現象：弦の波、波束、衝撃波、ソリトン。

批判的分析

長所

• 実践して学ぶ。 第1章は、問題、モデル、アルゴリズム、評価という明確なサイクルを示し、ほぼすべての章がキーノートの問題で始まる。著者はほとんどの問題にプログラムを提供し、解いた方程式、方法、コード、可視化、批評を含む短い実験レポートを学生に書かせることを勧めている。
• 応用の幅。 目次は、誤差と数値積分から、経路積分、分子動力学、一般相対性理論、流体、有限要素法にまで及び、課程に多くのプロジェクトの選択肢を与える。
• 付属教材。 第1章と出版社によれば、スライド付きの約60本の動画講義モジュール、コード、以前の版のノートブック版が本書に付随する。
• 新しい話題。 第4版は機械学習、量子コンピューティング、一般相対性理論の章を加え、出版社はそれをデータサイエンスへの重点の強化と位置づけている。

短所

• 概説であって基礎論の教科書ではない。 著者は、本書は計算物理学の基礎の学術的な叙述ではなく概説であり、「いくつかの章の後半部分を除けば」学部レベルに合わせてあると述べている。
• Pythonの導入は簡潔。 プログラミングを専門に扱う章は第2章だけで、著者はPythonを学ぶために外部のチュートリアルや書籍を勧めているため、初心者は別のPythonの資料が必要になるかもしれない。
• テキスト内で時代遅れになっている道具がある。 本書自身が、Visual（VPython）モジュールはもはやサポートされず、JupyterまたはWeb VPythonの中でのみ存続していると記しており、第2章の可視化の節に関わる。
• 幅の広さが深さを制限する。 27章で約540ページという構成のため、多くの章（たとえば第18章と第19章）は20ページに満たず、それぞれの応用は完全な扱いではなく入門にとどまる。

コースにおける位置づけ

計算物理学の書単の中で、ランダウ、パエス、ボルデイアヌの本は、物理の問題を解きながら数値計算法を教える、幅広く応用の豊かな教科書である。ニューマンの『Computational Physics』は最も近い代替で、やはりPythonでの例題と演習を軸にしている。プリンストン大学図書館の目録に記録されたニューマンの目次は、精度、積分と微分、方程式、フーリエ変換、ODE、PDE、モンテカルロといった同様の中核をより少ない章で扱うが、ランダウ版はデータサイエンスの章と多数の応用の章を加えている。キンダーとネルソンの『A Student's Guide to Python for Physical Modeling』は、プログラミング経験のない学生向けの短い実践的ガイドで、第2章の前に読める。

プレスらの『Numerical Recipes』は、C++による完全なルーチンを備えた数値計算法の参考書で、著者自身が数値計算法の標準的な一般書として挙げている。ティッセンの『Computational Physics』は、物性物理学と化学の研究手法を扱う大学院レベルの解説で、テイラーの『An Introduction to Error Analysis』は実験データの不確かさを扱い、第3章を補う。ランダウらの本は、道具の入門とティッセンの研究レベルの手法の中間に位置する。

本書の使い方

本書は、入門物理と微積分を終え、微分方程式と線形代数をある程度知っている物理、工学、材料科学の学生を対象とする。プログラミングの経験があると助けになるが必須ではなく、著者は読者がサンプルコードを実行して修正できることを期待している。

実践的な進め方：

• 中核（第1–8章）： Python、誤差、モンテカルロ、微分と積分、探索とフィッティング、行列とODE。すべてのキーノート問題をコードにする。
• データサイエンス（第9–12章）： 第9章のフーリエ解析が最も広く役に立つ。第10–12章は関心に応じて選べる。
• 応用（第13–27章）： プロジェクトに応じて選ぶ。第13章と第16章は第8章のODEソルバーに直接つながり、第22–25章は第21章のPDEの復習に続く。
• 併用： 提供されているコードを実行してから改変する。各問題について短い実験レポートを書き、動画講義は予習や復習に使う。