Foundations of Image Science（画像科学の基礎）

引用

Barrett, H. H., & Myers, K. J. (2003). Foundations of Image Science. Wiley.

章の要約

本書は、撮像システムを記述し、それが生む画像を判断するために必要な数学・物理・統計を扱う、非常に大部の大学院向けの書である。全 19 章、後書き（「Frontiers in Image Science」）、三つの付録（行列代数、複素変数、確率）からなり、1,500 ページを超える。出版社は四つの柱を挙げている。数学的基礎、モデルと機構を含む画像形成、客観的かつタスクに基づいて評価される画像品質、そして詳細な事例を備えた応用である。以下の章はこの順に並べてあり、出版社は、ディジタル撮像の連続—離散（CD）モデルと特異値分解（SVD）の利用を本書の特徴として挙げている。本書は 2006 年の Joseph W. Goodman Book Writing Award を受賞した。

第 1〜3 章：Vectors and Operators; The Dirac Delta and Other Generalized Functions; Fourier Analysis

数学的基礎は、線形ベクトル空間と Hilbert 空間から始まり、演算子の種類（連続—離散写像を含む）、固有解析、特異値分解、Moore-Penrose 擬似逆行列とその線形方程式への利用、再生核 Hilbert 空間へと進む。第 2 章は、超関数の理論、1 次元の delta 関数、その他の一般化関数、多次元の delta 関数を扱う。第 3 章は、正弦・余弦・複素指数関数、Fourier 級数、1 次元および多次元の Fourier 変換、標本化定理、離散 Fourier 変換を扱う。

第 4〜6 章：Series Expansions and Integral Transforms; Mixed Representations; Group Theory

第 4 章は、直交関数による展開と古典的な積分変換（Fresnel 変換と Radon 変換を含む）を扱う。第 5 章「Mixed Representations」は、局所スペクトル解析、双線形変換、ウェーブレットを取り上げる。第 6 章は群論（基本概念、部分群、表現、有限群と連続群、Hilbert 空間上の演算子の群）を導入し、量子力学と画像科学に関する節、群上の関数と変換に関する節を含む。

第 7〜8 章：Deterministic Descriptions of Imaging Systems; Stochastic Descriptions of Objects and Images

撮像に関する章は、物体と画像の記述から始め、線形システムを三つの形、すなわち連続—連続、連続—離散、離散—離散で扱い、さらに非線形システムを加える。第 8 章は確率性に向かい、確率ベクトルと確率過程、正規確率ベクトルと過程、物体および画像の確率モデルを扱う。

第 9〜10 章：Diffraction Theory and Imaging; Energy Transport and Photons

第 9 章は、波動方程式、平面波と球面波、Green 関数、平面開口による回折と周波数領域での回折、点物体と拡がりをもつ物体の結像を展開する。第 10 章は、電磁エネルギーの流れと検出、放射量とその単位、Boltzmann 輸送方程式とその撮像への応用を扱う。

第 11〜12 章：Poisson Statistics and Photon Counting; Noise in Detectors

第 11 章は、Poisson 確率変数とベクトル、ランダム点過程、ランダム増幅、光子計数の量子力学を扱う。第 12 章は、フォトダイオードにおける光子雑音とショット雑音、その他の雑音機構、X 線およびガンマ線検出器を扱う。

第 13〜14 章：Statistical Decision Theory; Image Quality

第 13 章は決定理論の背景、すなわち基本概念、分類タスク、推定理論を述べる。第 14 章はそれを画像品質に適用し、各種のアプローチを概観して、分類タスクに対する人間の観察者とモデル観察者、推定タスク、画像の供給源を扱う。

第 15 章：Inverse Problems

逆問題の基本概念、線形再構成演算子、暗黙的推定、反復アルゴリズム。

第 16〜19 章：Planar Imaging with X Rays and Gamma Rays; Emission Computed Tomography; Speckle; Imaging in Fourier Space

応用の章では、具体的なシステムを順に検討する。第 16 章はディジタルラジオグラフィと平面核医学を扱う。第 17 章は、順問題、逆問題、雑音と画像品質を通して、エミッション CT を扱う。第 18 章は、非結像系と結像系におけるスペックル、雑音と画像品質、点散乱モデル、コヒーレント測距を扱う。第 19 章は Fourier 変調器と干渉計を扱う。後書きは画像科学の最前線を論じ、付録は行列代数、複素変数、確率を復習する。

主要概念

第 1〜6 章：数学的基礎

• 連続—離散写像：連続的な物体を有限個の測定値に写す演算子で、本書のディジタル撮像の扱いの土台となる。
• 特異値分解と擬似逆行列：線形撮像演算子を解析し、逆変換するための道具。
• 一般化関数と Fourier 解析：delta 関数、標本化定理、各種変換。
• 混合表現と群：ウェーブレットと群論的手法。

第 7〜12 章：画像形成

• 三つの形の線形システム：連続—連続、連続—離散、離散—離散。
• 確率的記述：物体と画像のモデルとしての確率ベクトルと確率過程。
• 回折と輸送：エネルギーが検出器に届く過程の、波動による記述と輸送理論による記述。
• Poisson 統計と検出器雑音：光子計数と検出器の雑音。

第 13〜15 章：画像品質

• タスクに基づく評価：観察者が指定されたタスクをどれだけ遂行できるかで画像品質を定義する。
• 人間とモデルの観察者：分類タスクの成績を測る二つの方法。
• 逆問題：測定データからの再構成。

第 16〜19 章：応用

• 具体的なシステムの事例研究：ラジオグラフィ、核医学、エミッション断層撮影、スペックル、Fourier 空間での撮像。

批判的分析

長所

• **客観的な画像品質。**出版社は、本書が画像品質の意味のある客観的評価を重視し、そのための道具を提供すると述べている。目次もそれを裏づけ、決定理論の章と、人間の観察者およびモデル観察者に基づく画像品質の章がある。
• **一貫した数学的枠組み。**連続—離散モデルと SVD の手法が早い段階で導入されて撮像の各章で使われるため、物理と統計が共通の形式の上に立つ。
• **自己完結した準備。**出版社は、付録が行列代数、複素変数、確率論の前提を扱い、本書が大学院生や実務家、意欲のある学部生にも読めるようにしていると述べている。
• **評価。**本書は 2006 年の Joseph W. Goodman Book Writing Award を受賞した。

短所

• **非常に大部で要求水準が高い。**1,500 ページを超え、最初の撮像の章までに六章の数学がある。医用画像の最初の授業のための本ではない。
• **撮像方式の網羅は選択的。**応用の章は、平面 X 線・ガンマ線撮像、エミッション断層撮影、スペックル、Fourier 空間撮像を扱う。目次には、臨床的な撮像方式としての X 線 CT、超音波、MRI を扱う章がなく、それらには方式別の教科書が必要になる。
• **刊行時期。**2003 年の本であり、その後の再構成や観察者研究の進展は含まれない。

コースにおける位置づけ

医用画像のコースでは、本書は大学院水準の理論的な著作にあたる。Medical Imaging: Essentials for Physicians は、スキャナを作るのではなく画像を使う人のための概念的な入門書、Smith と Webb の Introduction to Medical Imaging と Suetens の Fundamentals of Medical Imaging は、主な撮像方式の物理と装置を説明する簡潔な授業用教科書である。Prince と Links の Medical Imaging Signals and Systems は、信号とシステムの枠組みで主要な撮像方式を示し、Barrett と Myers の前に読む自然な準備になる。The Essential Physics of Medical Imaging は診断撮像の物理に関する包括的な参考書である。

Foundations of Image Science はそれらのあとに来る。撮像システムを厳密にモデル化し、雑音を統計的に扱い、タスクの成績でシステムを比較するにはどうするか、という問いに取り組むときに読む本である。

本書の使い方

撮像システムや再構成法を設計・シミュレーション・評価する医用画像、医学物理、光学の大学院生や研究者、システム性能に関する主張を根拠づけなければならない実務家に向く。線形代数、Fourier 解析、確率の素養が必要で、付録が行列代数、複素変数、確率を復習する。

実用的な進め方は次のとおり。

• **画像品質の中核ルート：**第 1 章と第 3 章（演算子と Fourier 解析）、第 7 章と第 8 章（決定論的・確率的記述）、続いて第 13 章と第 14 章（決定理論と画像品質）。
• **再構成の仕事なら：**第 1 章の擬似逆行列と SVD の節、第 15 章、第 17 章を加える。
• **検出器と雑音の仕事なら：**第 10〜12 章。
• **選択：**分布、展開、ウェーブレット、群の参照用に第 2 章、第 4〜6 章。コヒーレント撮像には第 18 章と第 19 章。

応用の章は関連する理論の章を読んだあとで読み、これらの道具が具体的なシステムでどう働くかを見るために使う。