A Student's Guide to Maxwell's Equations（麦克斯韦方程组学习指南）

引用

Fleisch, D. (2008). A Student's Guide to Maxwell's Equations. Cambridge University Press.

章节概要

这是一本约135页的小书：四个麦克斯韦方程各占一章，第五章把它们结合起来得到波动方程，附录讨论介质中的麦克斯韦方程组。按照出版社的介绍，书中对每个方程的积分形式和微分形式，都用浅白的语言逐个解释每个符号的物理含义。第1–4章采用相同的结构：先把积分形式逐项拆开并应用于例题，再把它重建为微分形式，并同样加以应用。作者的网站补充了书中每道习题的提示和完整解答、四个方程各章中每个模块的音频播客、场线示意图的三维模型，以及一份为使本书保持简短而没有收入书中的坐标系复习材料。

第1章：电场的高斯定律

篇幅最长的一章，也是引入大部分矢量微积分的地方。积分形式依次讲到电场、点积、单位法向量、场的法向分量、面积分、矢量场的通量、穿过闭合曲面的电通量、所包围的电荷和真空介电常数，然后是应用。微分形式则引入nabla（del算符）和散度，并把它们应用于电场。

第2章：磁场的高斯定律

结构相同，但由于第1章已经备好了矢量工具，篇幅短得多：磁场、穿过闭合曲面的磁通量以及磁场的散度，每一项都有积分形式和微分形式的应用。

第3章：法拉第定律

积分形式引入感应电场、线积分与矢量场的路径积分、电场的环量、磁通量的变化率以及楞次定律。微分形式引入旋度（“del叉乘”）和电场的旋度。

第4章：安培—麦克斯韦定律

磁场的环量、真空磁导率、所包围的电流和电通量的变化率，然后是磁场的旋度、电流密度和位移电流密度，并给出两种形式的应用。

第5章：从麦克斯韦方程组到波动方程

全书的综合。本章列出散度定理、斯托克斯定理、梯度和一些常用的矢量恒等式，并用它们推导出波动方程，即光的电磁理论的基础。从作者的勘误页面可以看出，本章还讨论了作为求静电场途径的泊松方程。

附录：介质中的麦克斯韦方程组

简要说明方程组在物质内部如何修改，随后是延伸阅读建议。

核心概念

第1–2章：高斯定律

• 通量：穿过一个曲面的矢量场的量，通过对场的法向分量作面积分来计算。
• 所包围的电荷：穿过闭合曲面的净电通量的来源，二者通过真空介电常数相联系。
• 散度：以点积方式作用的del算符，衡量场从一点向外发散的程度。
• 净磁通量为零：对任何闭合曲面都成立，这就是磁场高斯定律的内容。

第3章：法拉第定律

• 线积分与环量：场沿一条路径的分量积分，以及它绕闭合回路一周的值。
• 感应电场：由变化的磁通量产生的电场。
• 楞次定律：感应效应总是阻碍产生它的磁通量变化。
• 旋度：以叉乘方式作用的del算符，衡量单位面积上场的环量。

第4–5章：安培—麦克斯韦定律与波

• 位移电流：麦克斯韦为变化的电通量引入的项，与传导电流一样是磁场的来源。
• 电流密度：单位面积上的电流，用于微分形式。
• 散度定理与斯托克斯定理：把方程的积分形式与微分形式联系起来的定理。
• 波动方程：由麦克斯韦方程组推出、描述电磁波的方程。

评析

优点

• 一次一个方程，两种形式兼顾。 出版社的介绍称本书用浅白语言解释每个符号，各节标题也证实了这种方法：每章都从积分形式逐项推进到微分形式，并分别给出应用。
• 在需要时讲授矢量微积分。 点积、面积分、通量、散度、线积分和旋度恰好出现在各方程需要它们的地方，因此本书也可以作为在物理情境中初次学习这些算符的入门读物。
• 完善的在线支持。 作者的网站为书中每道习题（第1–4章共39题）提供逐步提示和完整解答，还提供各模块的音频讲解和三维场模型。
• 简短而集中。 全书约135页，可以与课程同步阅读，而不会取代主教材。

局限

• 是指南，不是课程。 本书只讲四个方程及其组合方式；深入的静电学、电势、电路、辐射、狭义相对论和边值问题方法都留给主教材。关于介质的附录也很简短。
• 没有讲坐标系。 作者说明，为了让书保持简短，他把直角坐标、柱坐标和球坐标的复习移到了网站上；需要的学生必须另行下载。
• 勘误。 作者的勘误页面列出了各次印刷中更正的错误，包括第5章中泊松方程名称有误之处，以及仍标为待更正的式5.12；读早期印刷本的读者应当查看。

在课程中的定位

在这份电磁学书单中，弗莱什的指南是配套读物，而不是主教材。在第一门基于微积分的课程中，它可以自然地与 OpenStax 的 University Physics Volume 2 搭配——该书的电磁学单元从库仑定律一直讲到电磁波；也可以与珀塞尔和莫林的 Electricity and Magnetism 搭配，后者是一门在物理理解上更为深入的第一门正式课程。每当主教材首次讲到某条定律时，就读弗莱什书中对应的一章。

它也适合作为戴维·格里菲斯 Introduction to Electrodynamics 的预备读物或同步复习材料；那是一部面向高年级本科生的综合教材，从一开始就使用场的散度和旋度。杰克逊的 Classical Electrodynamics（研究生水平）和比滕库尔的 Fundamentals of Plasma Physics 是远在后面的阶段，但在攻读它们之前，本书仍可用来快速回顾每个方程的含义。

如何使用本书

本书适合已有一些微积分基础和一年级物理、正在修读第一门电磁学课程的学生，也适合会演算麦克斯韦方程组却想弄懂每一项含义的读者。对柱坐标和球坐标没有把握的读者，应先下载作者的坐标系复习材料。

• 核心： 第1章和第3章，它们引入的关键矢量运算（通量与散度、环量与旋度）在第2章和第4章中会再次用到。
• 其次： 熟悉工具之后读起来更快的第2章和第4章，以及作为前面努力之回报的第5章。
• 选读： 关于介质的附录，最好在主课程讲到电介质和磁性材料时阅读。

每一章先读积分形式，尝试其中的应用，再读微分形式。做习题时先借助网站上的提示，再看完整解答；某一步看不懂时，就听该模块的播客。