A Student's Guide to Maxwell's Equations（馬克士威方程式學習指南）

引用

Fleisch, D. (2008). A Student's Guide to Maxwell's Equations. Cambridge University Press.

章節概要

這是一本約135頁的小書：四個馬克士威方程各佔一章，第五章把它們結合起來得到波動方程，附錄討論介質中的馬克士威方程組。按照出版社的介紹，書中對每個方程的積分形式和微分形式，都用淺白的語言逐個解釋每個符號的物理含義。第1–4章採用相同的結構：先把積分形式逐項拆開並應用於例題，再把它重建為微分形式，並同樣加以應用。作者的網站補充了書中每道習題的提示和完整解答、四個方程各章中每個模組的Podcast音訊、場線示意圖的三維模型，以及一份為使本書保持簡短而沒有收入書中的座標系複習材料。

第1章：電場的高斯定律

篇幅最長的一章，也是引入大部分向量微積分的地方。積分形式依次講到電場、內積、單位法向量、場的法向分量、面積分、向量場的通量、穿過閉合曲面的電通量、所包圍的電荷和真空電容率，然後是應用。微分形式則引入nabla（del算符）和散度，並把它們應用於電場。

第2章：磁場的高斯定律

結構相同，但由於第1章已經備好了向量工具，篇幅短得多：磁場、穿過閉合曲面的磁通量以及磁場的散度，每一項都有積分形式和微分形式的應用。

第3章：法拉第定律

積分形式引入感應電場、線積分與向量場的路徑積分、電場的環量、磁通量的變化率以及冷次定律。微分形式引入旋度（「del外積」）和電場的旋度。

第4章：安培—馬克士威定律

磁場的環量、真空磁導率、所包圍的電流和電通量的變化率，然後是磁場的旋度、電流密度和位移電流密度，並給出兩種形式的應用。

第5章：從馬克士威方程組到波動方程

全書的綜合。本章列出散度定理、斯托克斯定理、梯度和一些常用的向量恆等式，並用它們推導出波動方程，即光的電磁理論的基礎。從作者的勘誤頁面可以看出，本章還討論了作為求靜電場途徑的帕松方程。

附錄：介質中的馬克士威方程組

簡要說明方程組在物質內部如何修改，隨後是延伸閱讀建議。

核心概念

第1–2章：高斯定律

• 通量：穿過一個曲面的向量場的量，透過對場的法向分量作面積分來計算。
• 所包圍的電荷：穿過閉合曲面的淨電通量的來源，二者透過真空電容率相聯繫。
• 散度：以內積方式作用的del算符，衡量場從一點向外發散的程度。
• 淨磁通量為零：對任何閉合曲面都成立，這就是磁場高斯定律的內容。

第3章：法拉第定律

• 線積分與環量：場沿一條路徑的分量積分，以及它繞閉合迴路一週的值。
• 感應電場：由變化的磁通量產生的電場。
• 冷次定律：感應效應總是阻礙產生它的磁通量變化。
• 旋度：以外積方式作用的del算符，衡量單位面積上場的環量。

第4–5章：安培—馬克士威定律與波

• 位移電流：馬克士威為變化的電通量引入的項，與傳導電流一樣是磁場的來源。
• 電流密度：單位面積上的電流，用於微分形式。
• 散度定理與斯托克斯定理：把方程的積分形式與微分形式聯繫起來的定理。
• 波動方程：由馬克士威方程組推出、描述電磁波的方程。

評析

優點

• 一次一個方程，兩種形式兼顧。 出版社的介紹稱本書用淺白語言解釋每個符號，各節標題也證實了這種方法：每章都從積分形式逐項推進到微分形式，並分別給出應用。
• 在需要時講授向量微積分。 內積、面積分、通量、散度、線積分和旋度恰好出現在各方程需要它們的地方，因此本書也可以作為在物理情境中初次學習這些算符的入門讀物。
• 完善的線上支援。 作者的網站為書中每道習題（第1–4章共39題）提供逐步提示和完整解答，還提供各模組的音訊講解和三維場模型。
• 簡短而集中。 全書約135頁，可以與課程同步閱讀，而不會取代主教材。

局限

• 是指南，不是課程。 本書只講四個方程及其組合方式；深入的靜電學、電位、電路、輻射、狹義相對論和邊值問題方法都留給主教材。關於介質的附錄也很簡短。
• 沒有講座標系。 作者說明，為了讓書保持簡短，他把直角座標、圓柱座標和球座標的複習移到了網站上；需要的學生必須另行下載。
• 勘誤。 作者的勘誤頁面列出了各次印刷中更正的錯誤，包括第5章中帕松方程名稱有誤之處，以及仍標為待更正的式5.12；讀早期印刷本的讀者應當檢視。

在課程中的定位

在這份電磁學書單中，弗萊什的指南是配套讀物，而不是主教材。在第一門基於微積分的課程中，它可以自然地與 OpenStax 的 University Physics Volume 2 搭配——該書的電磁學單元從庫侖定律一直講到電磁波；也可以與普賽爾和莫林的 Electricity and Magnetism 搭配，後者是一門在物理理解上更為深入的第一門正式課程。每當主教材首次講到某條定律時，就讀弗萊什書中對應的一章。

它也適合作為戴維·格里菲斯 Introduction to Electrodynamics 的預備讀物或同步複習材料；那是一部面向高年級大學部學生的綜合教材，從一開始就使用場的散度和旋度。傑克遜的 Classical Electrodynamics（研究生水平）和比滕庫爾的 Fundamentals of Plasma Physics 是遠在後面的階段，但在攻讀它們之前，本書仍可用來快速回顧每個方程的含義。

如何使用本書

本書適合已有一些微積分基礎和一年級物理、正在修讀第一門電磁學課程的學生，也適合會演算馬克士威方程組卻想弄懂每一項含義的讀者。對圓柱座標和球座標沒有把握的讀者，應先下載作者的座標系複習材料。

• 核心： 第1章和第3章，它們引入的關鍵向量運算（通量與散度、環量與旋度）在第2章和第4章中會再次用到。
• 其次： 熟悉工具之後讀起來更快的第2章和第4章，以及作為前面努力之回報的第5章。
• 選讀： 關於介質的附錄，最好在主課程講到電介質和磁性材料時閱讀。

每一章先讀積分形式，嘗試其中的應用，再讀微分形式。做習題時先借助網站上的提示，再看完整解答；某一步看不懂時，就聽該模組的Podcast。