广义相对论初阶

引用

Schutz, B. F. (2009). A First Course in General Relativity (2nd ed.). Cambridge University Press.

章节概要

全书共十二章，另有一个概述线性代数的附录，每章末尾都有延伸阅读和习题。舒茨把前八章描述为许多教材所共有的次序：从狭义相对论经张量与弯曲流形到场方程；把后四章描述为因其在现代天体物理中的重要性而选取的应用。

第1章：狭义相对论

从几何观点复习狭义相对论。内容包括两条基本公设、惯性观察者、时空图、构造另一观察者所用的坐标、间隔的不变性、不变双曲线、洛伦兹变换、速度合成与佯谬，并附有细致剖析孪生子佯谬的附录。开头就说明，读者被假定已经熟悉初等的代数版本，本章的目的是教几何版本。

第2–3章：狭义相对论中的矢量分析；狭义相对论中的张量分析

第2章定义时空中的矢量与矢量代数，引入四维速度、四维动量、标量积和光子。第3章建立张量的工具：度规张量、单形式、更高阶的张量、作为矢量与单形式之间映射的度规、指标的升降以及张量的微分。

第4章：狭义相对论中的理想流体

本章发展后面所需要的物质描述。从尘埃和数流矢量，到能量–动量张量、一般流体与理想流体，最后是关于这一切对广义相对论的重要性的一节，以及关于高斯定律的一节。

第5–6章：曲率导引；弯曲流形

第5章引入引力与曲率的关系，并在极坐标中练习张量代数与微积分，包括克里斯托费尔符号和非坐标基。第6章展开真正的微分几何：可微流形与黎曼流形、协变微分、平行移动、测地线、曲率张量、比安基恒等式以及里奇张量与爱因斯坦张量。

第7–8章：弯曲时空中的物理；爱因斯坦场方程

第7章从微分几何过渡到引力，讨论微弯时空中的物理与守恒量。第8章说明场方程的目的与依据，写出爱因斯坦方程，并考察弱场与牛顿极限。

第9章：引力辐射

这是应用各章中的第一章，讨论引力波的传播、探测与产生，引力波带走的能量，以及天体物理波源。在本版中，作者扩充了对LIGO和计划中的空间探测器LISA等干涉仪探测的处理。

第10–11章：恒星的球对称解；史瓦西几何与黑洞

第10章推导静态球对称时空、恒星的外部与内部结构以及精确的内部解，最后讨论实际恒星与引力坍缩。第11章追踪史瓦西时空中的轨迹，考察 r = 2M 的表面，讨论一般黑洞、天文学中真实的黑洞以及霍金过程。

第12章：宇宙学

为第二版彻底重写，围绕包含宇宙学常数的膨胀宇宙来组织。涉及宇宙学运动学（观测膨胀）、宇宙学动力学（理解膨胀）和物理宇宙学（所观测宇宙的演化）。舒茨说这只是这一领域的一点尝鲜。

核心概念

第1–4章：几何形式的狭义相对论

• 间隔的不变性：所有惯性观察者都认同的时空间隔，是几何观点的基础。
• 四维矢量：作为几何对象的四维速度与四维动量。
• 张量与单形式：以不依赖坐标的形式承载物理定律的对象。
• 能量–动量张量：对理想流体之类充当引力源的物质与能量的描述。

第5–8章：弯曲时空

• 流形、测地线与平行移动：自由粒子在其中运动的几何结构。
• 曲率张量与爱因斯坦张量：由度规构造的曲率度量。
• 爱因斯坦场方程：时空曲率与其源之间的关系，包括弱场的牛顿极限。

第9–12章：应用

• 引力波：传播、探测、产生与能量。
• 史瓦西几何与黑洞：球形质量的外部以及 r = 2M 处的视界。
• 宇宙学模型：包含宇宙学常数的膨胀宇宙模型。

评析

优点

• 目标与层次明确。 前言说明本书在本科层次讲授广义相对论，先修要求最少而不稀释内容，并完整列出了所需的背景知识。
• 对几何的完整处理。 作者不只依靠曲面的类比，而是完整地引入微分几何，然后使用完整的非线性场方程，并在平面和球对称情形下求解。
• 现代的应用。 第二版更新了最后四章：引力波探测、中子星与脉冲星、黑洞的天体物理证据，以及重写后包含宇宙学常数与加速膨胀的宇宙学一章。
• 习题丰富。 出版社称有300多道习题，其中许多是本版新增的；第一版前言说，做一部分习题必不可少，有几章的习题超过30道。

局限

• 只限经典理论。 作者说本书的主题仍是经典广义相对论：除了对霍金辐射的简要讨论，不涉及量子化。
• 数学上有取舍。 非度规流形理论、李导数和纤维丛被略去，引力波主要在线性近似下研究。
• 实验检验较少。 作者对实验检验和替代理论的系统讨论不像传统教材那样看重，而是在出现时顺带处理。
• 宇宙学较简略。 作者说第12章只能让读者对天文学家关于暴胀、暗物质与暗能量的认识略尝一二。
• 解答不在书中。 习题解答在第二版中已从书中删除，改在本书网站上提供；出版社说明教师用的解答有密码保护，因此自学的读者可能无法获得。

在课程中的定位

舒茨的书是本科层次的广义相对论第一门课，在本课程书单中排在狭义相对论之后。Taylor 与 Wheeler 的 Spacetime Physics 是以时空间隔为基础的狭义相对论简短入门，提供了舒茨第1章所复习的几何思维。Krane 的 Modern Physics 与 Thornton、Rex、Hood 的 Modern Physics for Scientists and Engineers 在二年级水平讲授狭义相对论与量子物理（Thornton 等人的书最后是广义相对论与宇宙学的章节），OpenStax 的 University Physics Volume 3 则在一本免费的微积分基础教材中介绍狭义相对论。Sean Carroll 的 Spacetime and Geometry 是研究生层次的替代选择，先细致地展开流形与曲率，再进入引力，并继续讲到弯曲时空中的量子场论；舒茨是通向同一领域较为平缓的道路，也是进入那本书的良好准备。

如何使用本书

前言列出了假定的背景知识：包含洛伦兹变换和相对论力学的狭义相对论；欧氏矢量分析；常微分方程与简单的偏微分方程；热力学与流体静力学；牛顿引力；以及足以知道光子是什么的量子力学。作者把本书设计为一学年课程中按顺序阅读，并指出可以缩减。

实用的阅读安排如下：

• 核心： 按顺序读第1–8章，因为每章都建立在前一章之上；全程都要做习题，因为作者指出，前面各章中简单和中等难度的习题所提供的练习，缺少了它们，后面的章节会难懂得多。
• 可选的应用： 第9章（引力波）、第10–11章（恒星与黑洞）和第12章（宇宙学）。前言建议，半年课程可以跳过第1–3章的部分内容以及第4、7、10章的大部分，以引力波和黑洞为目标；或者快速读过前四章，跳过第9章和第11章，以恒星结构和宇宙学为目标。
• 配合阅读： 利用每章末尾的延伸阅读。由于第二版没有印出习题解答，自学的读者可能需要与他人核对答案，或通过本书网站来查对。