廣義相對論初階

引用

Schutz, B. F. (2009). A First Course in General Relativity (2nd ed.). Cambridge University Press.

章節概要

全書共十二章，另有一個概述線性代數的附錄，每章末尾都有延伸閱讀和習題。舒茨把前八章描述為許多教材所共有的次序：從狹義相對論經張量與彎曲流形到場方程；把後四章描述為因其在現代天體物理中的重要性而選取的應用。

第1章：狹義相對論

從幾何觀點複習狹義相對論。內容包括兩條基本公設、慣性觀察者、時空圖、構造另一觀察者所用的座標、間隔的不變性、不變雙曲線、洛倫茲變換、速度合成與佯謬，並附有細緻剖析孿生子佯謬的附錄。開頭就說明，讀者被假定已經熟悉初等的代數版本，本章的目的是教幾何版本。

第2–3章：狹義相對論中的向量分析；狹義相對論中的張量分析

第2章定義時空中的向量與向量代數，引入四維速度、四維動量、標量積和光子。第3章建立張量的工具：度規張量、單形式、更高階的張量、作為向量與單形式之間對映的度規、指標的升降以及張量的微分。

第4章：狹義相對論中的理想流體

本章發展後面所需要的物質描述。從塵埃和數流向量，到能量–動量張量、一般流體與理想流體，最後是關於這一切對廣義相對論的重要性的一節，以及關於高斯定律的一節。

第5–6章：曲率導引；彎曲流形

第5章引入引力與曲率的關係，並在極座標中練習張量代數與微積分，包括克里斯托費爾符號和非座標基。第6章展開真正的微分幾何：可微流形與黎曼流形、協變微分、平行移動、測地線、曲率張量、比安基恆等式以及裡奇張量與愛因斯坦張量。

第7–8章：彎曲時空中的物理；愛因斯坦場方程

第7章從微分幾何過渡到引力，討論微彎時空中的物理與守恆量。第8章說明場方程的目的與依據，寫出愛因斯坦方程，並考察弱場與牛頓極限。

第9章：引力輻射

這是應用各章中的第一章，討論引力波的傳播、探測與產生，引力波帶走的能量，以及天體物理波源。在本版中，作者擴充了對LIGO和計劃中的空間探測器LISA等干涉儀探測的處理。

第10–11章：恆星的球對稱解；史瓦西幾何與黑洞

第10章推導靜態球對稱時空、恆星的外部與內部結構以及精確的內部解，最後討論實際恆星與引力坍縮。第11章追蹤史瓦西時空中的軌跡，考察 r = 2M 的表面，討論一般黑洞、天文學中真實的黑洞以及霍金過程。

第12章：宇宙學

為第二版徹底重寫，圍繞包含宇宙學常數的膨脹宇宙來組織。涉及宇宙學運動學（觀測膨脹）、宇宙學動力學（理解膨脹）和物理宇宙學（所觀測宇宙的演化）。舒茨說這只是這一領域的一點嚐鮮。

核心概念

第1–4章：幾何形式的狹義相對論

• 間隔的不變性：所有慣性觀察者都認同的時空間隔，是幾何觀點的基礎。
• 四維向量：作為幾何物件的四維速度與四維動量。
• 張量與單形式：以不依賴座標的形式承載物理定律的物件。
• 能量–動量張量：對理想流體之類充當引力源的物質與能量的描述。

第5–8章：彎曲時空

• 流形、測地線與平行移動：自由粒子在其中運動的幾何結構。
• 曲率張量與愛因斯坦張量：由度規構造的曲率度量。
• 愛因斯坦場方程：時空曲率與其源之間的關係，包括弱場的牛頓極限。

第9–12章：應用

• 引力波：傳播、探測、產生與能量。
• 史瓦西幾何與黑洞：球形質量的外部以及 r = 2M 處的視界。
• 宇宙學模型：包含宇宙學常數的膨脹宇宙模型。

評析

優點

• 目標與層次明確。 前言說明本書在本科層次講授廣義相對論，先修要求最少而不稀釋內容，並完整列出了所需的背景知識。
• 對幾何的完整處理。 作者不只依靠曲面的類比，而是完整地引入微分幾何，然後使用完整的非線性場方程，並在平面和球對稱情形下求解。
• 現代的應用。 第二版更新了最後四章：引力波探測、中子星與脈衝星、黑洞的天體物理證據，以及重寫後包含宇宙學常數與加速膨脹的宇宙學一章。
• 習題豐富。 出版社稱有300多道習題，其中許多是本版新增的；第一版前言說，做一部分習題必不可少，有幾章的習題超過30道。

局限

• 只限經典理論。 作者說本書的主題仍是經典廣義相對論：除了對霍金輻射的簡要討論，不涉及量子化。
• 數學上有取捨。 非度規流形理論、李導數和纖維叢被略去，引力波主要線上性近似下研究。
• 實驗檢驗較少。 作者對實驗檢驗和替代理論的系統討論不像傳統教材那樣看重，而是在出現時順帶處理。
• 宇宙學較簡略。 作者說第12章只能讓讀者對天文學家關於暴脹、暗物質與暗能量的認識略嘗一二。
• 解答不在書中。 習題解答在第二版中已從書中刪除，改在本書網站上提供；出版社說明教師用的解答有密碼保護，因此自學的讀者可能無法獲得。

在課程中的定位

舒茨的書是本科層次的廣義相對論第一門課，在本課程書單中排在狹義相對論之後。Taylor 與 Wheeler 的 Spacetime Physics 是以時空間隔為基礎的狹義相對論簡短入門，提供了舒茨第1章所複習的幾何思維。Krane 的 Modern Physics 與 Thornton、Rex、Hood 的 Modern Physics for Scientists and Engineers 在二年級水平講授狹義相對論與量子物理（Thornton 等人的書最後是廣義相對論與宇宙學的章節），OpenStax 的 University Physics Volume 3 則在一本免費的微積分基礎教材中介紹狹義相對論。Sean Carroll 的 Spacetime and Geometry 是研究生層次的替代選擇，先細緻地展開流形與曲率，再進入引力，並繼續講到彎曲時空中的量子場論；舒茨是通向同一領域較為平緩的道路，也是進入那本書的良好準備。

如何使用本書

前言列出了假定的背景知識：包含洛倫茲變換和相對論力學的狹義相對論；歐氏向量分析；常微分方程與簡單的偏微分方程；熱力學與流體靜力學；牛頓引力；以及足以知道光子是什麼的量子力學。作者把本書設計為一學年課程中按順序閱讀，並指出可以縮減。

實用的閱讀安排如下：

• 核心： 按順序讀第1–8章，因為每章都建立在前一章之上；全程都要做習題，因為作者指出，前面各章中簡單和中等難度的習題所提供的練習，缺少了它們，後面的章節會難懂得多。
• 可選的應用： 第9章（引力波）、第10–11章（恆星與黑洞）和第12章（宇宙學）。前言建議，半年課程可以跳過第1–3章的部分內容以及第4、7、10章的大部分，以引力波和黑洞為目標；或者快速讀過前四章，跳過第9章和第11章，以恆星結構和宇宙學為目標。
• 配合閱讀： 利用每章末尾的延伸閱讀。由於第二版沒有印出習題解答，自學的讀者可能需要與他人核對答案，或通過本書網站來查對。