01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Carroll, S. M. (2019). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Cambridge University Press.
章の要約
本書は約500ページで、全9章と10の付録（AからJ）があり、第1章から第8章の章末に演習問題があります。序文は構成を次のように説明しています。第1章は特殊相対論とテンソル代数の復習、第2章と第3章は多様体と曲率の数学の構築、第4章は一般相対論そのものの導入、第5章から第8章は三つの主要な応用（ブラックホールに2章、摂動論と重力波、宇宙論）を扱い、第9章は曲がった時空での場の量子論の短い紹介です。
第1章：特殊相対論と平坦な時空
序曲に続いて、空間と時間を別々に、また一緒に扱い、ローレンツ変換、ベクトル、双対ベクトル（1形式）、テンソルとその操作、マクスウェル方程式、エネルギーと運動量、古典場の理論を扱います。序文によれば、この章の目的は基礎の復習と記法の導入であり、それだけで完結した特殊相対論の入門ではありません。
第2章：多様体
「重力としての幾何」から出発し、多様体とは何かを問います。続いて多様体上のベクトルとテンソルを再び扱い、計量を導入し、膨張する宇宙を例とし、因果性、テンソル密度、微分形式、積分を扱います。
第3章：曲率
概観、共変微分、平行移動と測地線、測地線の性質、再び膨張する宇宙を扱ったあと、リーマン曲率テンソルとその性質、対称性とキリングベクトル、最大対称空間、測地線偏差を扱います。
第4章：重力
曲がった時空での物理、アインシュタイン方程式、そのラグランジュ形式と性質、宇宙定数、エネルギー条件、等価原理の再検討、代替理論を扱います。序文は、この章で本来の一般相対論が導入されると述べています。
第5章：シュワルツシルト解
シュワルツシルト計量、バーコフの定理、特異点、測地線、実験的検証、シュワルツシルトブラックホール、最大拡張されたシュワルツシルト解、星とブラックホールを扱います。
第6章：より一般的なブラックホール
ブラックホールの「動物園」、事象の地平線、キリング地平線、質量・電荷・スピン、荷電（ライスナー＝ノルドシュトルム）ブラックホールと回転（カー）ブラックホール、ペンローズ過程とブラックホール熱力学を扱います。
第7章：摂動論と重力放射
線形化重力とゲージ変換、自由度、ニュートン場と光子の軌道、重力波の解、重力波の生成、重力放射によるエネルギー損失、重力波の検出を扱います。
第8章：宇宙論
最大対称な宇宙、ロバートソン＝ウォーカー計量、フリードマン方程式、スケール因子の進化、赤方偏移と距離、重力レンズ、私たちの宇宙、インフレーションを扱います。
第9章：曲がった時空での場の量子論
序論、量子力学の復習、平坦な時空と曲がった時空での場の量子論、ウンルー効果、ホーキング効果とブラックホールの蒸発を扱います。序文によれば、この章は一般相対論を初めて学ぶ際に必須の部分ではありません。
付録A–J
多様体間の写像、微分同相写像とリー微分、部分多様体、超曲面、ストークスの定理、測地線束、共形変換、共形図、平行伝播子、非座標基底です。
主要概念
第1–3章：数学的な枠組み
- テンソルと1形式：相対論を定式化する対象で、まず平坦な時空で導入される。
- 多様体と計量：重力を記述する幾何学的な舞台。
- 測地線と平行移動：自由落下する物質の運動。
- リーマン曲率テンソル：曲率の尺度。キリングベクトルは対称性を表す。
第4章：重力
- アインシュタイン方程式：物質が時空をどう曲げるか。ラグランジュ形式もある。
- エネルギー条件：重力の源となる物質への制約。
- 等価原理：幾何学的な道具が揃ったあとで再検討される。
第5–6章：ブラックホール
- シュワルツシルト解とバーコフの定理：球対称な真空解。
- 事象の地平線：ブラックホールの境界で、キリング地平線を通じて一般的に扱われる。
- カー解とライスナー＝ノルドシュトルム解：回転するブラックホールと荷電したブラックホール。
第7–9章：重力波、宇宙論、量子効果
- 線形化重力：重力波への弱場からの道筋。
- フリードマン方程式：ロバートソン＝ウォーカー宇宙の力学。
- ホーキング効果：曲がった時空の量子場によるブラックホールの蒸発。
批判的分析
長所
- 明示された教育目的。 序文は、本書の唯一の目的を、大学院生や学部上級生に一般相対論を明快に教えることとし、1学期の入門講義に十分な内容を含め、網羅的な参考書にはしないと明言しています。
- 従来どおりの提示。 序文は、著者が風変わりな方法よりも従来の方法を好んだと述べ、唯一の偏りは一般相対論を場の理論と見る立場で、素粒子物理やひも理論とのつながりを理解するのに役立つとしています。
- 必要に応じて組み立てられる数学。 序文は、形式的な前提知識はほとんど要らず、リーマン幾何学の事前知識も不要で、内容の大半は進むにつれて展開されると述べています。最も技術的な数学は付録に置かれ、本文に道標があります。
- モジュール的な応用。 序文によれば、三つの応用（ブラックホール、重力波、宇宙論）は任意の順序で扱えます。ただし本文は相互依存を明示し、各章には実験的検証も織り込まれています。
- 補助となる講義ノートと演習。 序文は、本書がウェブで今も無料で公開されている講義ノートから生まれたこと、多くの演習問題がNeil Cornishによって提供されたことを述べています。
短所
- 一部の話題は意図的に省かれている。 序文は、初期値問題と宇宙論的摂動論は「甚だしく無視されている」と述べ、より進んだ内容は他の文献、特にWaldの本に頼るとしています。
- 第9章は付け足し。 場の量子論の章は短く、一般相対論を初めて学ぶ際に必須ではないとされているため、読者をこの分野の奥深くまでは連れて行きません。
- 重力が登場する前の形式が重い。 序文によれば、第2章と第3章は動機づけの物理を少し含みつつ数学的な枠組みを築きます。そのためアインシュタイン方程式は第4章で初めて現れ、その前の2章は主に数学です。
- 再刊された本文。 著作権表示によれば、本書は以前Pearsonから出版され、2019年にケンブリッジ大学出版局から再刊されたものなので、重力物理のその後の進展は本文に含まれていません。
コースにおける位置づけ
これは、現代物理と相対論のリストにある大学院レベルの一般相対論の教科書です。Taylor と Wheeler の Spacetime Physics は時空間隔を通して特殊相対論を導入し、Carroll の第1章はその知識を前提としています。Krane の Modern Physics、Thornton、Rex、Hood の Modern Physics for Scientists and Engineers、OpenStax の University Physics Volume 3 は、より広い現代物理の授業の中で特殊相対論を扱います。Schutz の A First Course in General Relativity は、古典力学・微積分・線形代数を学んだ学部上級生向けのより近い学部レベルの選択肢で、本書の前の自然な一歩、あるいはより穏やかな代替になります。
妥当な順序は、まず特殊相対論、次に Schutz などで曲がった時空を初めて学び、その後に数学的に丁寧で研究レベルの話題にまで届く Carroll です。
本書の使い方
本書は、特殊相対論、古典力学、電磁気学、線形代数、多変数の微積分を学んだ大学院生と優秀な学部上級生向けで、序文は微分幾何学の事前知識は不要としています。
実践的な進め方は次のとおりです。
- 中核： 第1章から第4章を順に読み、演習でテンソルと曲率に習熟します。シュワルツシルト解は第5章。
- 応用： ブラックホールをさらに知るには第6章、重力波は第7章、宇宙論は第8章。序文はこれらを任意の順序で読めるとしています。
- 任意： 第9章と、本文が必要とする際の付録（リー微分、ストークスの定理、測地線束、共形図など）。序文は、共形図が講義の不可欠な一部だと述べています。
- その後： 序文が主要な参考資料として挙げるWaldの本のような、より進んだ文献でさらに深めます。