Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing（数值方法：科学计算的艺术）

引用

Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press.

章节概要

第三版共22章，索引始于第1195页，全书使用C++代码。第1章确立各项约定；第2至13章覆盖科学计算的经典核心；第14至16章转向数据、建模与推断；第17至20章处理微分方程与积分方程；第21、22章则加入计算几何与非数值算法。每章都以编号为0的一节介绍该主题，然后依次讲解各个编号的方法。

第1章：预备知识

引言、误差、精度与稳定性、C系语法、对象、类与继承、向量与矩阵对象，以及另外一些约定。序言指引读者阅读第1.3至1.5节，了解本书所采用的面向对象风格。

第2章：线性代数方程组的求解

高斯–若尔当消元与高斯消元、LU分解、三对角与带状方程组、解的迭代改进、奇异值分解、稀疏方程组、范德蒙矩阵与托普利茨矩阵、乔列斯基分解与QR分解，最后一节问矩阵求逆是否为N³过程。

第3–5章：插值与外推；函数的积分；函数的求值

在有序表中搜索、多项式插值、样条插值与有理插值、网格与散乱数据上的插值，以及拉普拉斯插值（第3章）。经典求积公式、龙贝格积分、反常积分、变量替换、高斯求积、自适应求积与多维积分（第4章）。多项式、连分式、级数及其收敛、递推关系、数值导数、切比雪夫逼近、帕德逼近与有理切比雪夫逼近（第5章）。

第6章：特殊函数

Gamma函数、Beta函数与误差函数，指数积分，贝塞尔函数与艾里函数，球谐函数，菲涅耳积分，道森积分，费米–狄拉克积分，椭圆积分，超几何函数与统计函数。

第7章：随机数

均匀偏差、其他分布的偏差、多元正态偏差、线性反馈移位寄存器、哈希表与哈希存储器、简单蒙特卡罗积分、准随机序列，以及自适应与递归蒙特卡罗方法。

第8–10章：排序与选择；求根与非线性方程组；函数的极小化或极大化

排序、排名与选择算法（第8章）。区间包围、二分法、割线法与布伦特法、牛顿–拉弗森法、多项式求根与非线性方程组（第9章）。一维与多维极小化（黄金分割、布伦特法、下山单纯形法、鲍威尔法、共轭梯度法与拟牛顿法）、单纯形法与内点法线性规划、模拟退火与动态规划（第10章）。

第11章：本征系统

雅可比变换、用吉文斯与豪斯霍尔德方法化为三对角形式、对称矩阵、厄米矩阵与实非对称矩阵的本征值、QR算法与逆迭代。

第12–13章：快速傅里叶变换；傅里叶与谱方法的应用

采样数据的傅里叶变换、FFT及其实数据变体、正弦与余弦变换以及更高维情形（第12章）。卷积、相关、维纳滤波、功率谱估计、数字滤波、线性预测、最大熵谱、不等间隔采样数据、傅里叶积分、小波变换与采样定理（第13章）。

第14–16章：数据的统计描述；数据建模；分类与推断

矩、判断分布是否不同的检验、列联表、相关、信息论性质与Savitzky–Golay平滑（第14章）。作为最大似然估计的最小二乘、直线拟合与一般线性拟合、非线性模型、置信限、稳健估计、马尔可夫链蒙特卡罗与高斯过程回归（第15章）。高斯混合模型与k均值、维特比译码、隐马尔可夫模型、层次聚类与支持向量机（第16章）。

第17–20章：常微分方程的积分；两点边值问题；积分方程与反演理论；偏微分方程

龙格–库塔法、自适应步长、Bulirsch–Stoer法、刚性方程组、多步法与化学反应网络的随机模拟（第17章）。打靶法与松弛法，并以椭球谐函数为例（第18章）。弗雷德霍姆方程与沃尔泰拉方程、奇异核、正则化、Backus–Gilbert方法与最大熵图像复原（第19章）。通量守恒与扩散型初值问题，傅里叶、循环约化、松弛、多重网格与谱方法（第20章）。

第21–22章：计算几何；非数值性较弱的算法

点与盒、KD树、三角形、多边形、德劳内三角剖分与四叉树（第21章）。简单图形的绘制、机器参数、格雷码、校验和、霍夫曼编码与算术编码，以及任意精度算术（第22章）。

核心概念

第1–5章：基础

• 误差、精度与稳定性：为何看似等价的算法在计算机上表现不同。
• 矩阵分解：LU、乔列斯基、QR与奇异值分解是线性代数计算的基础。
• 求积与插值：在经典公式、高斯求积与样条之间作选择。

第6–11章：核心数值方法

• 随机偏差与蒙特卡罗积分：产生样本并用于计算积分。
• 求根与极小化：区间包围、牛顿型迭代与多维搜索。
• 本征系统：化为三对角形式与QR算法。

第12–16章：信号、数据与推断

• FFT与谱估计：采样、卷积、滤波与功率谱。
• 最小二乘与最大似然：带置信限的模型拟合。
• 马尔可夫链蒙特卡罗：对后验分布采样。

第17–22章：方程与算法

• 自适应步长与刚性：积分常微分方程的核心问题。
• 松弛与多重网格方法：求解边值问题。
• 德劳内三角剖分与KD树：几何数据结构。

评析

优点

• 讲解与可运行代码并重。 序言说明，第二版越来越因文字讲解、简明推导、批判性判断和建议而受重视，作者保留代码，是为了让读者能判断这些建议是否诚实、可实现、实用。因此每个主题都把讨论与一段程序结合在一起。
• 一册涵盖广泛。 目录从线性代数和特殊函数一直到谱分析、统计、微分方程和计算几何，一本书就可成为处理多种任务的第一站。
• 大幅修订的版本。 序言列出数百页新内容，包括分类与推断、计算几何两章，扩充的随机数与分布部分，内点法线性规划、动态规划、马尔可夫链蒙特卡罗和高斯过程回归。
• 有主见、重实用的口吻。 第二版序言把目标描述为一本非正式、有编辑立场、实用的书；第三版序言补充说，它写给的是已经知道多数算法的代码可以找到、想要弄懂其原理以及它好不好用的读者。

局限

• 是参考书，而非循序渐进的课程。 目录按方法族而非单一进程组织，因此更适合查找某个主题，而不适合逐步学习数值分析。
• 与其自身的C++风格绑定。 代码使用作者的面向对象约定，由第1章加以说明；使用Python或其他语言的读者需要把它翻译过来或另行处理。
• 许可事项。 本书开头有一节“许可与法律信息”，涉及代码的使用；在自己的项目中复用程序之前应先阅读。
• 广度限制深度。 许多方法只占几页，因此对偏微分方程或最优化等专门主题，专著会讲得更深。

在课程中的定位

在这份计算物理书单中，Numerical Recipes是综合性的方法参考书。Newman的 Computational Physics 与Landau、Páez和Bordeianu的 Computational Physics: Problem Solving with Python 是用Python通过物理问题讲授数值方法的教材，更适合作为第一门课程；Kinder与Nelson的 A Student's Guide to Python for Physical Modeling 提供语言方面的基础。Taylor的 An Introduction to Error Analysis 讲实验测量中不确定度的处理，与数值误差是不同的主题。Thijssen的 Computational Physics 则是对凝聚态物理研究方法的研究生层次论述。

可将Numerical Recipes与课程教材搭配使用：当教材中提到的某个方法需要更完整的解释，或需要一个稳健的实现作比较时，本书相应的章节是不错的去处。

如何使用本书

本书适合会编程（代码为C++）、具备微积分、线性代数和一些概率知识，并需要选择、理解和实现数值方法的学生与研究人员。

实用的学习安排：

• 起点： 第1章讲误差与稳定性以及编码约定，第2章讲线性代数。
• 按需查阅： 第3至5章讲插值、积分与函数求值，第9、10章讲求根与最优化，第11章讲本征值，第17章讲常微分方程。
• 数据工作： 第7、14、15、16章讲随机数、统计、建模与推断；信号处理则看第12、13章。
• 专门章节： 当项目涉及边值问题、反问题、偏微分方程、几何或编码算法时，读第18至22章。
• 方法： 选择方法之前先读该章的第0节引言，然后在一个测试问题上把推荐的程序与自己的实现作比较。